2019届二轮复习直线中的对称问题学案（全国通用）

题型一　点关于点中心对称例1过点P(0,1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2： x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为                ．【答案】　x＋4y－4＝0变式：在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是              ．【解析】　由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位长度，沿y轴正方向平移5个单位长度，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位长度，沿y轴负方向平移2个单位长度，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b， ∴b＝3－4k＋b，解得k＝，∴直线l的方程为y＝x＋b，直线l1为y＝x＋＋b，取直线l上的一点P，则点P关于点(2,3)的对称点为，∴6－b－＝(4－m)＋b＋，解得b＝.∴直线l的方程是y＝x＋，即6x－8y＋1＝0.【答案】　6x－8y＋1＝0点拨①点P(x，y)关于Q(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． 巩固1已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则a＋b＝        . 题型二　点关于直线对称例2：如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是(　　)  A．3  B．6  C．2  D．2 【答案】　C变式1：从点(2,3)射出的光线沿与向量a＝(8,4)平行的直线射到y轴上，则反射光线所在的直线方程为(　　)A．x＋2y－4＝0   B．2x＋y－1＝0C．x＋6y－16＝0   D．6x＋y－8＝0 学  ]【解析】　由直线与向量a＝(8,4)平行知：过点(2,3)的直线的斜率k＝，所以直线的方程为y－3＝(x－2)，其与y轴的交点坐标为(0,2)，又点(2,3)关于y轴的对称点为(－2,3)，所以反射光线过点(－2,3)与(0,2)，由两点式知A正确．【答案】　A变式2：将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m，n)重合，则m＋n等于(　　)A.      B.      C.      D.【答案】　A 点拨：点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有巩固2一只虫子从点O(0,0)出发，先爬行到直线l：x－y＋1＝0上的P点，再从P点出发爬行到点A(1，1)，则虫子爬行的最短路程是(　　)A.        B．2      C．3      D．4 题型三　直线关于直线的对称问题 例3　已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．【解析】　在直线m上任取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则  ]解得∴M′.设直线m与直线l的交点为N，则由得N(4,3)．又∵m′经过点N(4,3)．∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.  变式：若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2,1)对称，则直线l2经过定点 (　　)A．(0,4)   B．(0,2)C．(－2,4)   D．(4，－2)【答案】　B 点拨：直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决．巩固3已知直线l：3x－y＋3＝0，求：(1)点P(4,5)关于l的对称点；(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程；(3)直线l关于(1,2)的对称直线． 答案与解析巩固1【解析】由题意得解得或经检验，两种情况均符合题意，∴a＋b的值为0或.【答案】　0或巩固2【解析】点O(0,0)关于直线x－y＋1＝0的对称点为O′(－1,1)，则虫子爬行的最短路程为|O′A|＝＝2.故选B.【答案】B (2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，得关于l的对称直线方程为－－2＝0，化简得7x＋y＋22＝0. 学 / (3)在直线l：3x－y＋3＝0上取点M(0,3)关于(1,2)的对称点M′(x′，y′)，∴＝1，x′＝2，＝2，y′＝1，∴M′(2,1)．l关于(1,2)的对称直线平行于l，∴k＝3，∴对称直线方程为y－1＝3×(x－2)，即3x－y－5＝0.