2019届二轮复习抛物线几何性质的应用很关键学案（全国通用）

 考纲要求:1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程．2．了解抛物线的实际背景及抛物线的简单应用．3．掌握抛物线的简单几何性质,理解数形结合的思想．基础知识回顾:1．抛物线的概念平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离    的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的        ，直线l叫做抛物线的      .                  答案：相等  焦点  准线                             ＋x0    －x0    ＋y0  －y0 2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.   (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.     (4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．应用举例:类型一、求抛物线的标准方程【例1】【辽宁省沈阳市东北育才学校2018届高三第八次模拟考试】已知抛物线的焦点在轴负半轴，若，则其标准方程为A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】【分析】首先根据题中所给的条件，确定出抛物线的焦点所在轴以及开口方向，从而根据p的大小求得其标准方程.【点睛】该题考查的是有关抛物线的标准方程的问题，注意根据题中的条件，首先确定出抛物线的焦点所在轴和开口方向，结合p的值求得抛物线的标准方程.【例2】【江西省南昌市2017-2018学年度高三第二轮复习测试卷】如图，设抛物线的焦点为，过轴上一定点作斜率为的直线与抛物线相交于两点，与轴交于点，记面积为，面积为，若，则抛物线的标准方程为A．     B．     C．     D． 【答案】C【解析】【分析】根据斜率与定点，求得直线方程，联立抛物线方程，并解得直线与抛物线的两个交点横坐标；根据三角形面积比值，转化为两个交点的横坐标比值，进而求得参数p的值。联立方程 ，化简得 根据一元二次方程的求根公式，得 所以 因为，所以化简得 ，即 因为 ，所以 即， 所以选C【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系，并根据方程思想求得参数值，计算量较为复杂，属于难题。【例3】【湖北省黄冈中学2018届高三5月第三次模拟考试】已知点，过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，则抛物线的标准方程为（    ）A．        B． 或C．     D． 或【答案】D【解析】分析：由过点恰存在两条直线与抛物线有且只有一个公共点，可判定一定在抛物线上，讨论抛物线焦点位置，设出方程，将点代入即可得结果.学    ]若抛物线焦点在轴上，设抛物线方程为，代入方程可得得，将物线的标准方程为，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的标准方程，以及直线与抛物线、点与抛物线的位置关系，属于中档题.求抛物线的标准方程，首项要判断抛物线的焦点位置以及开口方向，其次根据题意列方程求出参数，从而可得结果.2、求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．类型二、抛物线的焦点弦问题1、焦点弦的弦长问题【例4】【四川省成都市双流中学2017-2018学年数学考前模拟】过抛物线y2=mx（m＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，，则m=（　　）A． 6    B． 4    C． 10    D． 8【答案】D【解析】分析：利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1 x2 +p，把线段PQ中点的横坐标为3，代入，可得m值点睛：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．2、焦点弦中距离之和最小【例5】【河北衡水金卷2018届高三高考模拟一】已知抛物线： 的焦点为，过点分别作两条直线， ，直线与抛物线交于、两点，直线与抛物线交于、两点，若与的斜率的平方和为1，则的最小值为（   ）A． 16    B． 20    C． 24    D． 32【答案】C【解析】易知直线， 的斜率存在，且不为零，设 ，直线的方程为，联立方程，得， ，同理直线与抛物线的交点满足，由抛物线定义可知 ，又 （当且仅当时取等号），的最小值为，故选C.3、焦点三角形问题【例6】已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线于两点， 坐标原点，若的面积为，则（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】A类型三、与抛物线有关的最值问题1、动弦中点到坐标轴距离最短问题【例7】已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为(　　)A.　　　　　　B.           C．1            D．2解析：由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，过点M作MM1⊥l交l于点M1，则|MM1|＝.因为|AB|≤|AF|＋|BF|(F为抛物线的焦点)，即|AF|＋|BF|≥6，所以|AA1|＋|BB1|≥6,2|MM1|≥6，|MM1|≥3，故点M到x轴的距离d≥2，故选D.2、到焦点与定点距离之和最小问题【例8】【2017届黑龙江省佳木斯市第一中学高三下第三次模拟】为抛物线上任意一点， 在轴上的射影为，点，则与长度之和的最小值为          ．【答案】3、到点与准线的距离之和最小问题【例9】已知P为抛物线y2＝4x上一个动点，Q为圆x2＋(y－4)2＝1上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和的最小值是        ．解析：由题意知，圆x2＋(y－4)2＝1的圆心为C(0,4)，半径为1，抛物线的焦点为F(1,0)．根据抛物线的定义，点P到点Q的距离与点P到抛物线准线的距离之和即点P到点Q的距离与点P到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|＋|PF|≥|PC|＋|PF|－1≥|CF|－1＝－1.4、到直线与准线的距离之和最小问题【例10】已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和的距离之和的最小值是         .【答案】2【解析】试题分析：设抛物线上的一点的坐标为，则到直线的距离；5、到定直线的距离最小问题【例11】抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是        ． 故切线方程为4x＋3y－＝0，抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d＝＝.学   法二：对y＝－x2，有y′＝－2x.如图，设与直线4x＋3y－8＝0平行且与 学, ,  ,X,X,K]抛物线y＝－x2相切的直线与抛物线的切点是T(m，－m2)，则切线斜率k＝y′|x＝m＝－2m＝－，所以m＝，即切点T，点T到直线4x＋3y－8＝0的距离d＝＝，由图知抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是.点评：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径．方法、规律归纳:1、与抛物线有关的最值问题的解题策略该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的相互转化．(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 2．与焦点弦有关的常用结论(以图1为依据)(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.   (2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为AB的倾斜角)．(3)＋为定值.     (4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．实战演练:1．【山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测】已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，垂直于点分别为，的中点，与轴相交于点，若，则等于（    ）A．     B． 1    C． 2    D． 4【答案】B2．【河北省石家庄市2017届高三冲刺模考】正三角形的两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点，则满足条件的三角形的个数为（    ）A． 0    B． 1    C． 2    D． 3【答案】C【解析】 学  ]由题可知其焦点为作倾斜角为与倾斜角为的直线，分别与抛物线相交天两点．如图，则均为正三角形．故本题答案选．3．【山西省太原市2017届高三第三次模拟】已知点在抛物线上，点在圆上，则的最小值为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】A由导函数与原函数的关系可得函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，函数的最小值为 ，由几何关系可得： 的最小值为 .本题选择A选项.4．【2017届江西省吉安一中、九江一中等八所重点中学高三4月联考】如图在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是上底面A1B1C1D1内一动点，PM垂直AD于M,PM=PB，则点P的轨迹为（    ）A． 线段             B． 椭圆一部分C． 抛物线一部分    D． 双曲线一部分【答案】C【解析】过做，连接，由于,所以，即到点的距离等于到直线的距离，故轨迹为抛物线的一部分.5．【2017届湖南省邵阳市高三下学期第二次联考】已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则A．     B． 1C． 2    D． 3【答案】B
由，在Rt△MDE中，丨DE丨2+丨DM丨2=丨ME丨2，即，
代入整理得： ②，
由①②，解得：x0=2，p=2，
∴ ，
故选：B．【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，考查了抛物线的定义，考查勾股定理在抛物线的中的应用，考查数形结合思想,转化思想，属于中档题，将点A到焦点的距离转化为点A到其准线的距离是关键.6．【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知抛物线的焦点为,准线为， 是上一点， 是直线与的一个交点，若，则（   ）A．     B．     C．     D．   【答案】C【解析】依题意，焦点为，准线为，焦点到准线的距离为.设，则， ，根据抛物线的定义， 到焦点的距离等于到准线的距离，有，故.7．【天津市十二重点中学2017届高三第二次联考】已知双曲线的离心率为，圆心在轴的正半轴上的圆与双曲线的渐近线相切，且圆的半径为2，则以圆的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【方法点晴】本题主要考查利用双曲线的简单性质、双曲线的离心率双曲线的渐近线及抛物线的标准方程与性质，属于难题.求解与双曲线、抛物线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.8．【2017届江西省南昌市高三第一次模拟考试】抛物线的焦点为，设， 是抛物线上的两个动点， ，则的最大值为（   ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】由抛物线定义得所以由得,因此 所以，选D.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若为抛物线上一点，由定义易得；若过焦点的弦 AB的端点坐标为，则弦长为可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．9．【山东省淄博市2017届高三第二次模拟考试】若角终边上的点在抛物线的准线上，则（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】A【解析】抛物线的准线为，即，所以，选A.【点睛】抛物线需化标准式，如本题先化为准线为一次项系数除以-4,所以准线为.10．【山西省太原市2018届高三3月模拟考试（一）】已知抛物线的焦点为，准线为是抛物线上的两个动点，且满足．设线段的中点在上的投影为，则 （    ）A．     B．     C．     D． 【答案】D【解析】由抛物线定义得 ,在三角形AFB中 ，所以    ，选D.11．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（八）】抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则（   ）A．     B． 1C． 2    D． 4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12．【黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（七）】已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，若，则点的横坐标为（   ）A． 5    B． 4    C． 3    D． 2【答案】B【解析】【分析】由题意结合抛物线的性质首先求得直线AB的方程，然后利用直线方程求解点D的横坐标即可.【详解】设AB的中点为H，抛物线y2=4x的焦点为F(1,0），准线为，设A、B、H在准线上的射影分别为A'，B'，H'，则，由抛物线的定义可得：,，即，则，即点H的横坐标为2，设直线AB：y=kx+3，代入抛物线方程整理得k2x2+（6k-4）x+9=0.【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.13．【江西省景德镇市第一中学等盟校2018届高三第二次联考】已知抛物线，过其焦点的直线交抛物线于两点，若，且抛物线上存在点与轴上一点关于直线对称，则该抛物线的焦点到准线的距离为（     ）A． 4    B． 5    C．     D． 6【答案】D【解析】分析：设抛物线与的准线为，如图所示，当直线的倾斜角为锐角时，分别过点作，垂足为，过点作交于点，则，，，在中，由，可得，由于，可得即可得到，当直线的倾斜角为钝角时，同理可得.详解：轴，，，直线方程， 由可得点的坐标：,  ，代入抛物线的方程化简可得： ，该抛物线的焦点到准线的距离为，故选D.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，属于难题.抛物线中与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.14．【安徽省芜湖市2017届高三5月教学质量检测】抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与抛物线在轴右侧的部分相交于点，过作抛物线准线的垂线，垂足为，则的面积是（ ）A．     B．     C．     D． 【答案】C15．【山西省大同市灵丘豪洋中学2017届高三下学期第三次模拟】已知是抛物线的焦点，过点且斜率为的直线交抛物线于， 两点，则的值为（    ）A．     B．     C．     D． 【答案】B【解析】直线AB方程为： 设，联立直线与抛物线方程可得： ， ， =点睛：考察直线与抛物线的性质综合，要注意过焦点直线的弦的特征