2019届二轮复习抛物线提分秘籍学案（全国通用）

题型一　抛物线的定义及应用

例1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为        ．

【解析】　如图，

过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，

则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，

即|PB|＋|PF|的最小值为4.学  

【答案】　4

引申探究

1．若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值．

2．若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值．

【解析】　由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．

点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，

所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.

易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，

故d2＋|PF|的最小值为＝3，学, , ]

所以d1＋d2的最小值为3－1.

点评  与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．

巩固1设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为        ．

题型二　抛物线的标准方程和几何性质

1　求抛物线的标准方程

例2　 (2017·深圳模拟)如图所示，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为(　　)

A．y2＝x   B．y2＝9x

C．y2＝x   D．y2＝3x

【解析】　分别过点A，B作AA1⊥l，BB1⊥l，且垂足分别为A1，B1，由已知条件|BC|＝2|BF|，得|BC|＝2|BB1|，

【答案】　D

巩固2（2018北京文）已知直线过点且垂直于轴，若被抛物线截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为         ．

2　抛物线的几何性质

例3已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)＋为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

(2)＋＝＋＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，

得＋＝＝(定值)．

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，

过M作准线l的垂线，垂足为N，

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．学  

点评(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．

巩固3 (1)(2017·广西三市调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上的点A(x0，)到其焦点的距离是A到y轴距离

的3倍，则p等于(　　)

A.       B．1     C.      D．2

(2)(2017·郑州二模)过点P(－2,0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到

抛物线C的焦点的距离为(　　)

A.         B.       C.       D．2

题型三　直线与抛物线的综合问题

1　直线与抛物线的交点问题

例4　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．

若·＝0，则k＝        .

【答案】　2

巩固4（2018全国新课标Ⅰ理）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（–2，0）且斜率为的直线与C交

于M，N两点，则=（    ）

A．5     B．6     C．7     D．8

2　与抛物线弦的中点有关的问题

例5(2016·全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点， 学  ]

交C的准线于P，Q两点．

(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；

(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

(2) 【解析】　设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)，

则S△ABF＝|b－a FD|＝|b－a|，

S△PQF＝.

由题意可得|b－a|＝，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．

设满足条件的AB的中点为E(x，y)．当AB与x轴不垂直时，

由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)． 学  ]

当AB与x轴垂直时，E与D重合，

此时E点坐标为(1,0)，满足方程y2＝x－1.

所以所求轨迹方程为y2＝x－1.

点评(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．学  

(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法．

提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．

变式：（2018北京理）已知抛物线C：=2px经过点（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．   

（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；

（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．

（2）设，．

由（1）知，，直线的方程为．

令，得点的纵坐标为．

同理得点的纵坐标为．

由，得，．

，

所以为定值． 学      

【答案】（1）取值范围是；（2）证明过程见解析．

巩固5(2018届武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程

答案与解析

巩固1【解析】如图，

【答案】

巩固2【解析】，，由抛物线方程可得，，，，

焦点坐标为．

【答案】

巩固3(1)【解析】由题意得3x0＝x0＋，即x0＝，

即A，代入抛物线方程，得＝2，

∵p>0，∴p＝2.故选D.

【答案】　D

(2)【解析】　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x＝－2的垂线，垂足分别为点D，E.∵|PA|＝|AB|，

∴又得x1＝，

则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.

【答案】　A

巩固4【解析】 由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，

∴，∴.学  

【答案】：D

(2)设切线AN为y＝x＋b，又切点A在抛物线y＝上，

∴y1＝，∴b＝－＝－，

∴yAN＝x－.同理yBN＝x－.

又∵N在yAN和yBN上，

∴解得N.∴N(pk，－1)．

|AB|＝|x2－x1|＝，

点N到直线AB的距离d＝＝，

S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，

∴2＝4，∴p＝2，

故抛物线C的方程为x2＝4y.