2019届二轮复习平面向量共线定理-备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板学案（全国通用）
展开【高考地位】
随着向量在 学研究中的工具性应用，与它在社会生产生活中所起的巨大作用，所以近年来数学高考题中，命入了共线向量内容考题.在今后的高考试题中，共线向量必将增长态势.其在高考题型多以选择题、填空题出现，其试题难度属低中档题.
【方法点评】
类型一 在几何问题中的应用
使用情景：平面几何证明、求值等问题中的应用
解题模板：第一步 将已知条件进行向量处理；
第二步 利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；
第三步 得出结论.
例1、平面内有一个和一点，线段的中点分别为的中点分别为，设.
（1）试用表示向量；
（2）证明线段交于一点且互相平分.
【答案】（1），，；（2）证明见解析.]
第一步，将已知条件进行向量处理；
第二步，利用平面向量的运算法则和线性运算等性质进行求解；学
第三步，得出结论.
【变式演练1】【河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第二次模拟考试文 数学试题】
平行四边形中， ，则 ．
【答案】1
【解析】在平行四边形中， ，
且，
则，
所以；故填1.
【变式演练2】如图，四边形是边长为1的正方形，，点为内（含边界）的动点，设，则的最大值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】Ｄ
【高考再现】
1.【2017北京理，6】设m,n为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
- 【2017全国Ⅲ卷理，12】在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆
上．若，则的最大值为（）
A．3 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由题意，画出右图．
设与切于点，连接．
以为原点，为轴正半轴，
为轴正半轴建立直角坐标系，
则点坐标为．
∵，．学
∴．
∵切于点．
∴⊥．
∴是中斜边上的高．
即的半径为．
而，，．
∵
∴，．
两式相加得：
(其中，)学
当且仅当，时，取得最大值3．
3.【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（ ）
（A） (B)
（C） (D)
【答案】A
基础题，解答本题的关键是结合图形会利用向量加法将向量表示为，再用已知条件和向量减法将用表示出来.
4.【2017山东文，11】已知向量a=（2,6）,b= ,若a b,则 .
【答案】
- 【2017江苏，12】如图,在同一个平面内，向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为,
且tan=7,与的夹角为45°.若, 则 ▲ .
【答案】3
【解析】由可得，，根据向量的分解，学
易得，即，即，即得，
所以.
6.【2015高考北京，理13】在中，点，满足，．若，
则 ； ．
【答案】
【考点定位】本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题. 学 ]
【名师点睛】本题考查平面向量的有关知识及及向量运算，利用向量相等条件求值，本题属于基础题.利用坐标运算要建立适当的之间坐标系，准确写出相关点的坐标、向量的坐标，利用向量相等，列方程组，解出未知数的值.
7.【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数 ．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以． 学 ]
【考点定位】向量共线．
【名师点睛】本题考查向量共线，明确平面向量共线定理，利用待定系数法得参数的关系是解题关键，属于基础题．学
8.【2015江苏高考，6】已知向量a=，b=, 若ma+nb=(), 则的值为 .
【答案】
【解析】由题意得：
【考点定位】向量相等
【名师点晴】明确两向量相等的充要条件，它们的对应坐标相等.其实质为平面向量基本定理应用. 向量共线的充要条件的坐标表示：若，则⇔.向量垂直的充要条件的坐标表示：若，则⇔.
9.【2017江苏，16】 已知向量
（1）若a∥b,求x的值；
（2）记,求的最大值和最小值以及对应的的值.
【答案】（1）（2）时，取得最大值，为3； 时，取得最小值，为.
【解析】解：（1）因为，，a∥b，
（2）.
因为，所以，
从而.
于是，当，即时，取到最大值3；
当，即时，取到最小值.
【考点】向量共线，数量积
【反馈练习】
1．【北京市顺义区2018届高三第二次统练（二模）数学理试题】已知是正△的中心．若，其中， ，则的值为
A． B． C． D． 2
【答案】C
【解析】由题是正△的中心，延长交与 则
即 故选C.
2．【东北三省三校2018届高三第二次模拟考试数学（理）试题】已知向量， ，若，则（ ）
A． 0 B． C． D．
【答案】C
【解析】因为,
又因为，所以，选C.
3．【吉林省长春五校2018届高三1月联合模拟考数学（文）试题】已知向量， ， ，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
4．【安徽省宣城市三校联考数学试题】已知向量 ， ．若共线,则的值是（）
A． -1 B． -2 C． 1 D． 2
【答案】B
【解析】∵， ，且共线，
∴，解得.选B.学
5．【江西省抚州市临川区第一中学2018学年数学（理）试题】已知数列为等差数列，且满足，若（），点为直线外一点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
6．【福建省四校2018届高三上学期第二次联考数学（文）试题】已知向量， ，且与共线，则的值为 .
【答案】2
【解析】由=（1， ），=（﹣2，λ），且与共线，
得，∴．
则+=（1， ）+（﹣2，﹣2）=（﹣1，﹣），
∴|+|=．
故答案为：2．
7．【湖南省张家界市2018届高三第三次模拟考试数学（文）试题】已知向量， ， ，满足，则， 夹角的余弦值为 ．
【答案】
【解析】由∥，得，解得，则， ，
所以.
8．【江西省2018届高三毕业班新课程教学质量监测数学（文）试题】设，向量， ， ，且， ，则 ．
【答案】
【解析】
9．【四川省2018届高三“联测促改”活动数学（文 ）试题】在平面向量中有如下定理：设点、、、为同一平面内的点，则、、三点共线的充要条件是：存在实数，使.试利用该定理解答下列问题：如图，在中，点为边的中点，点在边上，且， 交于点，设，则 ．
【答案】
【解析】∵三点共线，
∴存在实数，使得，
又，
∴， ]
又三点共线，学
∴，解得．
∴
∴， ．
答案：
10．【2018年高考数学练酷专题】已知点在椭圆上，点满足（）（是坐标原点），且，则线段在轴上的设影长度的最大值为 ．
【答案】15
答案：15
11．【河南省郑州市2018届高中毕业班第一次质量检测（模拟）理 数学试题】
已知双曲线： 的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于，若，则双曲线的渐近线方程为 ．
【答案】
答案： ．
点睛：
（1）已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程就是双曲线的两条渐近线方程．学
（2）求双曲线的渐进线方程的关键是求出的关系，并根据焦点的位置确定出渐近线的形式，并进一步得到其方程．
12．【2018届上海市徐汇区高三下学期二模数学试卷】如图，在中， 为上不同于， 的任意一点，点满足.若，则的最小值为 . ]
【答案】
13.【山西省太原市2018届高三模拟考试（一）数学理试题】已知
,若,则实数 ．
【答案】-1
【解析】由已知求出 ,
所以有 ,所以 .
14.【辽宁省瓦房店市2018届高三下学期第一次模拟数学（理）试题】
在平面直角坐标系中，已知向量， ，
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若与的夹角为，求的值.
【答案】(1)1，(2)
【解析】试题分析：(1)由可得，从而求得的值；
（2）依题知，即，从而得到的值.
试题解析：
（1）因为，所以，所以.学 .
所以tanx=1
