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2019届二轮复习矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲学案（全国通用）
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矩阵与变换、坐标系与参数方程、不等式选讲
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)已知矩阵A＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标.
解 (1)因为A＝，det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，
所以A可逆，从而A－1＝.
(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，
因此， 点P的坐标为(3，－1).
2.(2017·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
解 (1)AB＝＝.
(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为＝，
所以即因为P(x1，y1)在曲线C1上，所以＋＝1，
从而x2＋y2＝8，即为曲线C2的方程.
3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
∴当s＝时，d有最小值＝.
5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.
解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值为4.
6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
证明 由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换
2.二阶矩阵的特征值和特征向量
(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解)，它即为M的属于λ的一个特征向量.
3.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
4.(1)直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
(2)圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
5.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|0)－a
6.柯西不等式
(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立.
(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.
热点一 矩阵与变换
【例1】 (1)(2016·江苏卷)已知矩阵A＝))，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.
解 B＝(B－1)－1＝＝.∴AB＝＝.
(2)(2017·盐城模拟)已知矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1：＋＝1，求曲线C的方程.
解 设曲线C上任一点为(x，y)，经过变换T变成(x0，y0)，则＝，
即x0＝x，y0＝y.由＋＝1，得曲线C的方程为＋y2＝1.
探究提高 (1)解决这类问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.
(2)由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.
(3)求矩阵M＝就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.
【训练1】 (1)(2018·扬州期末)已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.
(2)(2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).
①求矩阵M；
②求矩阵M的另一个特征值.
解 (1)因为A＝，即＝，即解得
所以A＝.设A－1＝，则AA－1＝＝，
即解得所以A－1＝.
(2)①设M＝，M＝8＝，M＝＝，
则解得即M＝.
②令特征多项式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，
解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M的另一个特征值为2.
热点二 曲线的极坐标方程
[考法1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2－1】 在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程.
解 将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5，
化简得ρ2－4ρcos－1＝0.此即为所求的圆C的极坐标方程.
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
[考法2] 曲线的极坐标方程的应用
【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.
【训练2】 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2(a＞0)，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为
ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.
热点三 参数方程
[考法1] 参数方程与普通方程的互化
【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)，若直线l被圆C截得的弦长为4，求r的值.
解 直线l的普通方程为4x＋3y－15＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝r2.
因为圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝3，
又直线l被圆C截得的弦长为4，所以r＝＝.
探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.
[考法2] 直线的参数方程
【例3－2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PA＋PB.
解 法一 (1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝5，
即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
法二 (1)同法一.
(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0.解得： 或
不妨设A(1，2＋)，B(2，1＋)，又点P的坐标为(3，).
故PA＋PB＝＋＝3.
探究提高 过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.
热点四 绝对值不等式
【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
②若f(x)≤1，求a的取值范围.
(2)(2018·镇江期末)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)①当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
②f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2或x＝－a时等号成立(最小值能取到).
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(2)因为对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，所以f(x)min＞a2－3.
又|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－(x＋a)|＝|2a|，所以|2a|＞a2－3，①
法一 (将|a|作为整体)即|a|2－2|a|－3＜0，解得－1＜|a|＜3.
所以－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a＞a2－3，②
或2a＜－a2＋3，③
由②得－1＜a＜3，
由③得－3＜a＜1，
所以，－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.
【训练4】 已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
由f(x)≥1可得
①当x≤－1时显然不满足题意；
②当－1
③当x≥2时，f(x)＝3≥1恒成立，∴x≥2.
综上知f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)不等式f(x)≥x2－x＋m等价于f(x)－x2＋x≥m，
令g(x)＝f(x)－x2＋x，
则g(x)≥m解集非空只需要[g(x)]max≥m.
由(1)知g(x)＝
①当x≤－1时，[g(x)]max＝g(－1)＝－3－1－1＝－5；
②当－1
综上，[g(x)]max＝，故m≤.所以实数m的取值范围是.
热点五 不等式的证明、柯西不等式
【例5】 (1)(2014·江苏卷)已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
(2)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.
①求实数a，b的值；
②求＋的最大值.
(1)证明 因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
(2)解 ①由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得
②＋＝＋≤
＝2＝4，当且仅当＝，
即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4，即最大值为4.
探究提高 (1)证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
(2)根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明、证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.
【训练5】 已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)∵a>0，b>0且a3＋b3＝2.
由柯西不等式，得(a＋b)(a5＋b5)≥(＋)2＝(a3＋b3)2＝4.
当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时等号成立.因此(a＋b)(a5＋b5)≥4.
(2)∵a3＋b3＝2，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，即(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2.
所以(a＋b)3－2＝3ab(a＋b)，又ab≤＝，
∴(a＋b)3－2≤(a＋b)3，则(a＋b)3≤2.
从而a＋b≤2当且仅当a＝b＝1时等号成立.
1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.
2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；
(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解；
(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.
1.(2013·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
解 设矩阵A的逆矩阵为，则＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.
2.(2015·江苏卷)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.
解 由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，
则即所以矩阵A＝.
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，
所以矩阵A的另一个特征值为1.
3.(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
5.(2016·江苏卷)设a＞0，＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
证明 由a＞0，|x－1|＜可得|2x－2|＜，又|y－2|＜，
∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a.
则|2x＋y－4|＜a成立.
6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，
因此a＋b的最小值为5.
高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)常见的平面变换与矩阵的乘法运算、二阶矩阵的逆矩阵及其求法、矩阵的特征值与特征向量的求法，属B级要求；(2)直线、曲线的极坐标方程、参数方程、参数方程与普通方程的互化、极坐标与直角坐标的互化，属B级要求；(3)含绝对值不等式的解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求.
真 题 感 悟
1.(2018·江苏卷)已知矩阵A＝.
(1)求A的逆矩阵A－1；
(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3，1)，求点P的坐标.
解 (1)因为A＝，det(A)＝2×2－1×3＝1≠0，
所以A可逆，从而A－1＝.
(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，
因此， 点P的坐标为(3，－1).
2.(2017·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝.
(1)求AB；
(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.
解 (1)AB＝＝.
(2)设P(x1，y1)是曲线C1上任意一点，变换后对应的点为＝，
所以即因为P(x1，y1)在曲线C1上，所以＋＝1，
从而x2＋y2＝8，即为曲线C2的方程.
3.(2018·江苏卷)在极坐标系中，直线l的方程为ρsin＝2，曲线C的方程为ρ＝4cos θ，求直线l被曲线C截得的弦长.
解 因为曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，
所以曲线C是圆心为(2，0)，直径为4的圆.
因为直线l的极坐标方程为ρsin＝2，则直线l过A(4，0)，倾斜角为，
所以A为直线l与圆C的一个交点.设另一个交点为B，则∠OAB＝.
连接OB.因为OA为直径，从而∠OBA＝，所以AB＝4cos ＝2.
因此，直线l被曲线C截得的弦长为2.
4.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.
解 由消去t.得l的普通方程为x－2y＋8＝0，
因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).
则点P到直线l的距离d＝＝，
∴当s＝时，d有最小值＝.
5.(2018·江苏卷)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值.
解 由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，
当且仅当＝＝时，不等式取等号，此时x＝，y＝，z＝，
所以x2＋y2＋z2的最小值为4.
6.(2017·江苏卷)已知a，b，c，d为实数，且a2＋b2＝4，c2＋d2＝16，证明ac＋bd≤8.
证明 由柯西不等式可得(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，
即(ac＋bd)2≤4×16＝64，故ac＋bd≤8.
考 点 整 合
1.矩阵的乘法与逆矩阵、矩阵变换
2.二阶矩阵的特征值和特征向量
(3)如果λ是二阶矩阵M的特征值，则λ是M的特征多项式的一个根，它满足f(λ)＝0，此时将λ代入可得到一组非零解)，它即为M的属于λ的一个特征向量.
3.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，
则
4.(1)直线的参数方程
经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数).
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量.
(2)圆的参数方程
圆心在点M(x0，y0)，半径为r的圆的参数方程为(θ为参数，0≤θ≤2π).
5.含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<－a；
(2)|f(x)|
6.柯西不等式
(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立.
(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立.
热点一 矩阵与变换
【例1】 (1)(2016·江苏卷)已知矩阵A＝))，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.
解 B＝(B－1)－1＝＝.∴AB＝＝.
(2)(2017·盐城模拟)已知矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1：＋＝1，求曲线C的方程.
解 设曲线C上任一点为(x，y)，经过变换T变成(x0，y0)，则＝，
即x0＝x，y0＝y.由＋＝1，得曲线C的方程为＋y2＝1.
探究提高 (1)解决这类问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.
(2)由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.
(3)求矩阵M＝就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.
【训练1】 (1)(2018·扬州期末)已知x，y∈R，若点M(1，1)在矩阵A＝对应的变换作用下得到点N(3，5)，求矩阵A的逆矩阵A－1.
(2)(2017·苏、锡、常、镇调研)已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝，并且矩阵M对应的变换将点(－1，2)变换成(－2，4).
①求矩阵M；
②求矩阵M的另一个特征值.
解 (1)因为A＝，即＝，即解得
所以A＝.设A－1＝，则AA－1＝＝，
即解得所以A－1＝.
(2)①设M＝，M＝8＝，M＝＝，
则解得即M＝.
②令特征多项式f(λ)＝＝(λ－6)(λ－4)－8＝0，
解得λ1＝8，λ2＝2，故矩阵M的另一个特征值为2.
热点二 曲线的极坐标方程
[考法1] 极坐标方程与直角坐标方程的互化
【例2－1】 在极坐标系中，已知圆C的圆心坐标为C，半径R＝，求圆C的极坐标方程.
解 将圆心C化成直角坐标为(1，)，半径R＝，
故圆C的方程为(x－1)2＋(y－)2＝5.
再将C化成极坐标方程，得(ρcos θ－1)2＋(ρsin θ－)2＝5，
化简得ρ2－4ρcos－1＝0.此即为所求的圆C的极坐标方程.
探究提高 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一.(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.
[考法2] 曲线的极坐标方程的应用
【例2－2】 (2018·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.
(1)求C2的直角坐标方程；
(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程.
解 (1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ得C2的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4.
(2)由(1)知C2是圆心为A(－1，0)，半径为2的圆.
由题设知，C1是过点B(0，2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面，故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.
当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝－或k＝0.经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；
当k＝－时，l1与C2只有一个公共点，l2与C2有两个公共点.
当l2与C2只有一个公共点时，A到l2所在直线的距离为2，
所以＝2，故k＝0或k＝.
经检验，当k＝0时，l1与C2没有公共点；当k＝时，l2与C2没有公共点.
综上，所求C1的方程为y＝－|x|＋2.
探究提高 解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.
【训练2】 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0).在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解 (1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2(a＞0)，C1是以(0，1)为圆心，a为半径的圆.
将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为
ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.
(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，
由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，
从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上.所以a＝1.
热点三 参数方程
[考法1] 参数方程与普通方程的互化
【例3－1】 (2018·南通、扬州、淮安等七市调研)在平面直角坐标系xOy，已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数，r＞0)，若直线l被圆C截得的弦长为4，求r的值.
解 直线l的普通方程为4x＋3y－15＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝r2.
因为圆心C(0，0)到直线l的距离d＝＝3，
又直线l被圆C截得的弦长为4，所以r＝＝.
探究提高 参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围.
[考法2] 直线的参数方程
【例3－2】 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求PA＋PB.
解 法一 (1)由ρ＝2sin θ，得x2＋y2－2y＝0，即x2＋(y－)2＝5.
(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得＋＝5，
即t2－3t＋4＝0.由于Δ＝(－3)2－4×4＝2>0，
故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以又直线l过点P(3，)，
故由上式及t的几何意义得PA＋PB＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.
法二 (1)同法一.
(2)因为圆C的圆心为(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为：y＝－x＋3＋.
由得x2－3x＋2＝0.解得： 或
不妨设A(1，2＋)，B(2，1＋)，又点P的坐标为(3，).
故PA＋PB＝＋＝3.
探究提高 过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则P1P2＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).
【训练3】 (2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，求线段AB的长.
解 将直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝4x，
得＝4，解得t1＝0，t2＝－8.所以AB＝|t1－t2|＝8.
热点四 绝对值不等式
【例4】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.
①当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；
②若f(x)≤1，求a的取值范围.
(2)(2018·镇江期末)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋a|，若对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，求实数a的取值范围.
解 (1)①当a＝1时，f(x)＝
可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}.
②f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2或x＝－a时等号成立(最小值能取到).
故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.
所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).
(2)因为对任意x∈R，不等式f(x)＞a2－3恒成立，所以f(x)min＞a2－3.
又|x－a|＋|x＋a|≥|x－a－(x＋a)|＝|2a|，所以|2a|＞a2－3，①
法一 (将|a|作为整体)即|a|2－2|a|－3＜0，解得－1＜|a|＜3.
所以－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
法二 (先去绝对值符号)①式等价于2a＞a2－3，②
或2a＜－a2＋3，③
由②得－1＜a＜3，
由③得－3＜a＜1，
所以，－3＜a＜3.∴a∈(－3，3).
探究提高 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：
①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值.(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法.(3)解答含有绝对值不等式的恒成立、存在性问题时，通常将其转化为分段函数，再求分段函数的最值，从而求出所求参数的值.
【训练4】 已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解 (1)f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
由f(x)≥1可得
①当x≤－1时显然不满足题意；
②当－1
③当x≥2时，f(x)＝3≥1恒成立，∴x≥2.
综上知f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)不等式f(x)≥x2－x＋m等价于f(x)－x2＋x≥m，
令g(x)＝f(x)－x2＋x，
则g(x)≥m解集非空只需要[g(x)]max≥m.
由(1)知g(x)＝
①当x≤－1时，[g(x)]max＝g(－1)＝－3－1－1＝－5；
②当－1
综上，[g(x)]max＝，故m≤.所以实数m的取值范围是.
热点五 不等式的证明、柯西不等式
【例5】 (1)(2014·江苏卷)已知x＞0，y＞0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy.
(2)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.
①求实数a，b的值；
②求＋的最大值.
(1)证明 因为x＞0，y＞0，所以1＋x＋y2≥3＞0，1＋x2＋y≥3＞0，
故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3·3＝9xy.
(2)解 ①由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则解得
②＋＝＋≤
＝2＝4，当且仅当＝，
即t＝1时等号成立，故(＋)max＝4，即最大值为4.
探究提高 (1)证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等.
(2)根据柯西不等式的结构特征，利用柯西不等式对有关不等式进行证明、证明时，需要对不等式变形，使之与柯西不等式有相似的结构，从而应用柯西不等式.
【训练5】 已知实数a>0，b>0，且a3＋b3＝2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明 (1)∵a>0，b>0且a3＋b3＝2.
由柯西不等式，得(a＋b)(a5＋b5)≥(＋)2＝(a3＋b3)2＝4.
当且仅当ab5＝ba5，即a＝b＝1时等号成立.因此(a＋b)(a5＋b5)≥4.
(2)∵a3＋b3＝2，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)＝2，即(a＋b)[(a＋b)2－3ab]＝2.
所以(a＋b)3－2＝3ab(a＋b)，又ab≤＝，
∴(a＋b)3－2≤(a＋b)3，则(a＋b)3≤2.
从而a＋b≤2当且仅当a＝b＝1时等号成立.
1.矩阵与变换主要掌握二阶矩阵与平面变换、二阶矩阵的逆矩阵及其求法以及特征值与特征向量的应用.
2.(1)化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数(代入消去法、加减消去法、恒等式消去法等)；化普通方程为参数方程基本思路是引入一种关系，引入参数；
(2)参数方程和极坐标方程的简单应用：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.
3.(1)对于绝对值不等式的求解或含参问题的求解一般采用零点分段法，也可利用图象求解；
(2)在运用柯西不等式进行求解或证明时，注意对条件进行“形变”，符合柯西不等式的结构，再加以运用.
1.(2013·江苏卷)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B.
解 设矩阵A的逆矩阵为，则＝，
即＝，故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝，
从而A的逆矩阵为A－1＝，所以A－1B＝＝.
2.(2015·江苏卷)已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值.
解 由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，
则即所以矩阵A＝.
从而矩阵A的特征多项式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，
所以矩阵A的另一个特征值为1.
3.(2015·江苏卷)已知圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin－4＝0，求圆C的半径.
解 以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系xOy.
圆C的极坐标方程为ρ2＋2ρ－4＝0，
化简，得ρ2＋2ρsin θ－2ρcos θ－4＝0.
则圆C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＋2y－4＝0，
即(x－1)2＋(y＋1)2＝6，所以圆C的半径为.
4.(2018·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 (θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率.
解 (1)曲线C的直角坐标方程为＋＝1.
当cos α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cos α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cos α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1，2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－，
故2cos α＋sin α＝0，于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
5.(2016·江苏卷)设a＞0，＜，|y－2|＜，求证：|2x＋y－4|＜a.
证明 由a＞0，|x－1|＜可得|2x－2|＜，又|y－2|＜，
∴|2x＋y－4|＝|(2x－2)＋(y－2)|≤|2x－2|＋|y－2|＜＋＝a.
则|2x＋y－4|＜a成立.
6.(2018·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.
(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.
解 (1)f(x)＝
y＝f(x)的图象如图所示.
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，
故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，
因此a＋b的最小值为5.
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