2019届二轮复习合理建系--妙解三类空间角问题（理）学案（全国通用）



考纲要求:
1．能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
基础知识回顾:
1．两条异面直线所成角的求法
设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝(其中φ为异面直线a，b所成的角)．
2．直线和平面所成的角的求法
如图甲所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.
图甲

3．二面角的求法
(1)如图乙中①，AB，CD是二面角α ­l ­β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．
图乙

(2)如图乙中②③，n1，n2分别是二面角α ­l ­β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉．
应用举例:
类型一、线线角问题
1、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系
例1．如图所示，在正方体中，已知分别是和的中点，则与所成角的余弦值为 （ ）

A. B. C. D.


2、利用面面垂直建立空间直角坐标系
例2．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，已知AB＝2，CC1＝，则异面直线AB1和BC1所成角的正弦值为(　　)
A．1 B． C． D．
【解析】取线段A1B1，AB的中点分别为O，D，则OC1⊥平面ABB1A1，∴可以以，，
图2

的方向分别为x轴，y轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系O­xy ，
如图2，则A(－1,0，)，B1(1,0,0)，B(1,0，)，C1(0，，0)，
∴＝(2,0，－)，＝(－1，，－)，因为
·＝(2,0，－)·(－1，，－)＝0，所以⊥，
即异面直线AB1和BC1所成角为直角，则其正弦值为1.故选A.

小结：注意向量的夹角与异面直线所成角的区别，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．
类型二、线面角问题
1、利用线面垂直建立空间直角坐标系
例1、【浙江省嘉兴市第一中 2018届高三9月基础测试】
如图，四棱锥,底面为菱形，平面，，为的中点，.
（I）求证：直线平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)见解析;(2) .
（方法二）如图建立所示的空间直角坐标系.
.

设平面的法向量，

.所以直线与平面所成角的正弦值为

2、利用共顶点互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系
例2、四面体ABCD及其三视图如图5所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H.
图5

(1)证明：四边形EFGH是矩形；(2)求直线AB与平面EFGH夹角θ的正弦值．

(2)如图6，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(0,0,1)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，
图6

＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)．
设平面EFGH的法向量n＝(x，y， )，
∵EF∥AD，FG∥BC，∴n· ＝0，n·＝0，
得取n＝(1,1,0)，∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝＝.
小结：利用平面的法向量求线面角时注意事项
(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．
(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．
类型三、面面角问题
1、利用面面垂直建立空间直角坐标系
例1．【河南省洛阳市2017-2018 年高三期中考试】如图，四棱锥中，底面为梯形， 底面， ， ， ， ．　

（1）求证：平面 平面；
（2）设为上的一点，满足，若直线与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
， 平面所以平面平面.
（II）由（I）可知为与底面所成角.
所以，所以

【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
2、利用正方体建立空间直角坐标系
例2、如图9，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．
图9

(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；
(2)是否存在λ，使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角？
若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．
解析：以D为原点，射线DA，DC，DD1分别为x，y， 轴的正半轴建立如图10所示空间直角坐标系D­xy .由已知得B(2,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,1,0)，F(1,0,0)，P(0,0，λ)．则＝(－2,0,2)，
＝(－1,0，λ)，＝(1,1,0)．
(1)证明：当λ＝1时，＝(－1,0,1)，因为＝(－2,0,2)，所以＝2，即BC1∥FP.
图10

而FP⊂平面EFPQ，且BC1⊄平面EFPQ，故直线BC1∥平面EFPQ.

小结：求二面角时要注意判断其平面角是锐角还是钝角时，若不能判断二面角的平面角是锐角还是钝角时，要利用法向量的方向来判断法向量的夹角与二面角之间的关系是相等还是互补．
方法、规律归纳:
求空间角的基本方法：
(1)建立适当的空间直角坐标系，便于坐标的求解．
(2)利用向量法求异面直线与所成的角θ，主要求出两直线的方向向量与，
则cos θ＝.
(3)利用向量法求斜线与平面所成的角的方法：
①分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(若是钝角，取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角．
(4)利用向量法求二面角的方法：
①分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．
②分别在二面角的两个面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．
实战演练:
1．【河南省开封市2019届高三10月定位考试】如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为菱形，△PAD为正三角形，且E为AD的中点，BE⊥平面PAD．

（Ⅰ）求证：平面PBC⊥平面PEB；
（Ⅱ）求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析 ； （2）.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)先证明BC⊥平面PEB，再证明平面PBC⊥平面PEB. （Ⅱ）建立空间直角坐标系E-xy ，利用向量法求平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值．

（Ⅱ）如图所示，建立空间直角坐标系E-xy ，
设菱形ABCD的边长为2，则AE=ED=1，PE=EB=，
C（－2，0），D（－1，0，0），P（0，0，），
.
设平面PDC的一个法向量为，
由，得，取y＝1，得，
又平面PEB的一个法向量为.
，∴平面PEB与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为.

【点睛】
本题主要考查空间位置关系的证明，考查空间二面角的计算，意在考查 生对这些知识的掌握水平和空间想象分析转化推理能力.
2．【陕西省四校联考2019届高三高考模拟】如图，三棱柱的所有棱长都是2，平面ABC，D，E分别是AC，的中点．

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
【分析】
(1)根据线面垂直和面面垂直判定和性质,证得,通过三角形全等,证得,再根据线面垂直的判定定理,证得平面;
(2) 建立空间直角坐标系，向量法求二面角的余弦值.
【详解】

（3）取中点F，以DF，DA，DB为x，y， 轴建立空间直角坐标系，，，，，，，，，

设平面DBE的一个法向量为，则，
令，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，
设二面角的平面角为，观察可知为钝角，
，
∴，故二面角的余弦值为．
【点睛】
本题考查了线面垂直的证明，考查了线面垂直与面面垂直的判定与性质，考查了二面角的余弦值的求法；利用向量解几何题的一般方法是：建立空间直角坐标系，用坐标表示各点，把线段转化为用向量表示，然后通过向量的运算或证明去解决问题.
3．【黑龙江省哈尔滨师范大 附属中 2019届高三上 期期中考试】如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，∥，，且，，是棱的中点 ．

（Ⅰ）求证：∥平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）设点是线段上的动点，与平面所成的角为，求的最大值．
【答案】（1）见解析 ； （2） ；（3）.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）通过建立空间直角坐标系，利用平面SCD的法向量即可证明AM∥平面SCD；
（Ⅱ）分别求出平面SCD与平面SAB的法向量，利用法向量的夹角即可得出；
（Ⅲ）利用线面角的夹角公式即可得出表达式，进而利用二次函数的单调性即可得出．

（Ⅱ）取平面SAB的一个法向量 ，则
∴平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．
（Ⅲ）设，则，平面的一个法向量为
∴
当，即时，取得最大值，且．
【点睛】
本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属中档题.
4．【湖北省重点高中联考协作体2019届高三上 期期中考试】如图，在四棱锥中，平面，，且，.

（1）求证：；
（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理 由.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件可得到平面，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量进而得到向量夹角的余弦值，解出t值即可.
【详解】
(1)证明：如图，由已知得四边形是直角梯形，


（2）建立如图所示空间直角坐标系，则



设，则的坐标为设是平面的一个法向量，则
，得，则可取
又是平面的一个法向量，
所以，
【点睛】
这个题目考查了异面直线垂直的证明，常见方法，可以将两个异面直线平移到同一平面，或者通过证明线面垂直来证线线垂直,也考查到二面角的应用，传统方法求线面角和二面角，一般采用“一作，二证、三求”三个步骤，首先根据二面角的定义结合几何体图形中的线面关系作出线面角或二面角的平面角，进而求出；而角的计算大多采用建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，利用线面角和二面角公式，借助法向量求空间角.
5．【上海市奉贤区2018届高三下 期调研测试】已知几何体的三视图如图所示，其中左视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形，主视图为直角梯形.
（1）求几何体的体积；
（2）求直线CE与平面AED所成角的大小.

【答案】(1)；(2).
(2)分别以、、方向为、、轴建立空间直角坐标系，则：
、、、.
所以，，
设平面的法向量为，
∴
于是可以取.
设与平面所成的角为，则：.
∴与平面所成的角为.
点睛：本题主要考查空间几何体体积以及用空间向量求直线与平面所成的角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
6．【江苏省苏州市2018届高三调研测试】如图，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB，且ABBP2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．

（1）求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值；
（2）线段PD上是否存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，试确定点N的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于。
【解析】
试题分析：（1）由面面垂直的性质定理可得平面，所以直线，两两垂直，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 为平面的一个法向量，利用向量垂直的性质列方程组求出平面的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果；（2）设，．由（1）知，平面的一个法向量为，利用空间向量夹角余弦公式列方程求解即可.
试题解析：（1）因为平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEPAB，BP⊥AB，
所以BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，所以直线BA，BP，BC两两垂直，


（2）设线段PD上存在一点N，使得直线BN与平面PCD所成角α的正弦值等于．
设，．
由（1）知，平面PCD的一个法向量为，
所以，
即，解得或（舍去）．
当点N与点D重合时，直线BN与平面PCD所成角的正弦值为．
7．【天津市和平区2018届高三上 期期末考试】如图，在三棱锥中，平面，，为的中点，为的中点，点在线段上，，.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）若，求证：平面；
（Ⅲ）求与平面所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).
试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，平面，
∴.
∵，，
∴平面.
∵平面，
∴.
∵，为的中点，
∴.
∵，
∴平面.
（Ⅱ）证明：依题意，平面，，如图，

以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.
可得，，，，，，.
∵平面的一个法向量，，
∴，即.
∵平面，
∴平面.

点睛：用向量法解决立体几何问题的注意点：
（1）建立空间直角坐标系时要判断是否具备了两两垂直的三条直线，否则要先给出证明；
（2）求线面角时要借助直线的方向向量和平面的法向量夹角余弦值的绝对值求出线面角的正弦值；求二面角时，要借助两平面法向量夹角的余弦值来求出二面角的余弦值，但在解题时要借助于图形来判断二面角为锐角还是钝角．
8．【湖南省长沙市2018届高三第一次模拟】如图，在多面体中，四边形为梯形，，均为等边三角形，，．

（1）过作截面与线段交于点，使得平面，试确定点的位置，并予以证明；
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）当为线段的中点时，使得平面．（2）
【解析】
试题分析：(1) 当为线段的中点时，平面．连结AC交BD于M,连结MN.利用中位线定理即可证明 ,于是平面．
(2)通过线面关系证得 ，．分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.

∴，
∵平面，平面，
∴平面，故为的中点时，使得平面．


∴四边形为等腰梯形．
取的中点，连接，则，
又∵，，，
∴平面，
过点作于，则，
∴ ，．
分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则由条件可得：，，，，，．
设是平面的法向量，
则即
所以可取，
由，可得，
∴直线与平面所成角的正弦值为．

点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.
9．【河北省衡水中 2019届高三第一次摸底考试】在中，，分别为，的中点，，如图1.以为折痕将折起，使点到达点的位置，如图2.

如图1 如图2
（1）证明：平面平面；
（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值。
【答案】(1)见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为.
【解析】
【详解】
（1）证明：在题图1中，因为，且为的中点.由平面几何知识，得.
又因为为的中点，所以
在题图2中，，，且，
所以平面，
所以平面.
又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，.

所以平面.
又因为平面，
所以.
以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系

设与平面所成的角为，
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，以及利用空间向量求线面角，属中档题.
10．【湖南湖北八市十二校2019届高三第一次调研联考】三棱柱的底面是等边三角形，的中点为，底面，与底面所成的角为，点在棱上，且.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
(1)先证明和，即平面得证.(2)利用向量法求二面角的平面角的余弦值.

在△AOD中，由余弦定理，得
，
.

（2）如下图所示，以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，

则
故
由（1）可知
可得点的坐标为，
平面的一个法向量是.
设平面的法向量，由
得
令则
则，

易知所求的二面角为钝二面角 ，
二面角的平面角的余弦角值是.
【点睛】
(1)本题主要考查空间位置关系的证明，考查二面角的计算，意在考查 生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)二面角常用的求法有几何法和向量法.
11．【甘肃省兰州第一中 2019届高三上 期期中考试】如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为矩形，且PA=AD=1，AB=2，∠PAB=120°,∠PBC=90°.

（I）平面PAD与平面PAB是否垂直？并说明理由；
（II）求平面PCD与平面ABCD所成二面角的余弦值．
【答案】（I）平面 平面； （Ⅱ） cos∠PEF=.
【解析】
【详解】
（I）平面 平面；
证明：由题意得且

又，则
则平面,
故平面平面

又平面ABCD的一个法向量为，

设平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小为θ，显然为锐角θ，
∴cosθ==.
方法二：过点P作BA的垂线交BA的延长线于点F,过点F 作EF⊥AB,
交CD的延长线于点D.
则∠PEF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角
∵PA=1, ∠PAB=120°, ∴PF=,
又EF=AD=PA= 1，∴PE=,
∴cos∠PEF=.
【点睛】
本题考查了两个平面垂直的判定定理、性质定理及二面角的概念和求法，培养了空间想象能力及问题的等价转化能力，属于中档题。
12．【辽宁省部分重点高中2019届高三9月联考】如图，在直三棱柱中，平面平面，且.

（1）求证：；
（2）若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小.
【答案】（1）见解析； （2）.
【解析】
试题解析：（1）证明：如图，取的中点，连接，因，则，由平面侧面，且平面侧面，得平面，
又平面，所以，因为三棱柱是直三棱柱，则底面，所以
又，从而侧面，又侧面，故
（2）

在直角中：，又，
∴，且二面角为锐二面角，∴，
即二面角的大小为
解法二（向量法）：由（1）知且底面，所以以点为原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，且设，则，
，设平面的一个法向量，由
得：令，得，则，
设直线与平面所成的角为，则，得，解得， 即
又设平面的一个法向量为，同理可得，设锐二面角的大小为，则
，且，得，∴锐二面角的大小为.
考点：线面垂直性质与判定定理，利用空间向量求二面角
【思路点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
13．【河北省唐山市2019届高三9月摸底考试】在直角三角形中，，为的中点，以为折痕将折起，使点到达点的位置，且.

（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由等腰三角形的性质可得，结合，可得平面，从而得，又，利用线面垂直的判断定理可得结果；（2）以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出的方向向量，利用向量垂直数量积为零求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

（2）以D为坐标原点，DA，DB，DP所在直线分别为x轴，y轴， 轴，建立空间直角坐标系D－xy ，

则
,
设平面PBC的法向量n＝(x，y， )，
由,得,
取n＝(1，－1，－1)．

∴直线PA与平面PBC所成角的正弦值为．
【点睛】
利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：
第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；
第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；
第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；
第四，破“应用公式关”.
14．【贵州省遵义航天高级中 2019届高三上 期第三次月考】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，为正三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD，为线段的中点，在线段上.
（I）当是线段的中点时，求证：PB // 平面ACM；
（II）是否存在点，使二面角的大小为60°，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（I）见解析（II）存在
【详解】
（I）证明：连接BD交AC于H点，连接MH，因为四边形ABCD是菱形，

所以点H为BD的中点. 又因为M为PD的中点，
所以MH // BP.又因为 BP 平面ACM, 平面ACM.
所以 PB // 平面ACM.
（II） 因为ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是AB的中点，
所以CE⊥AB .


则，所以，
所以，，
设平面的法向量为，则
，解得．
令，则，得．
因为PE⊥平面ABCD，所以平面ABCD的法向量，
所以．
因为二面角的大小为60°，
所以，即，解得，或（舍去）
所以在棱PD上存在点，当时，二面角的大小为60°．
【点睛】
空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
15．【江苏省徐州市2019届高三第一 期期中】如图，在平行四边形中，，，，四边形为矩形，平面平面，，点在线段上运动，且．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；
（2）设平面与平面所成二面角的大小为（），求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）证明平面，建立空间直角坐标系，写出向量的坐标，，故可得，求出与所成角的大小为（2）设，利用向量表示出两个平面法向量的夹角余弦，根据，求出范围.
【详解】


则，，，，，，
当时，，所以．
所以，，
所以，
所以，
即异面直线与所成角的大小为．
（2）平面的一个法向量，
设，
由，
得即，
所以，．

【点睛】
本题主要考查了利用空间向量计算异面直线所成的角以及利用平面的法向量求二面角的余弦，属于中档题.