2019届二轮复习基础回扣(五)　立体几何学案（全国通用）

基础回扣(五)　立体几何 [要点回扣]1．空间几何体的三视图在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主．[对点专练1]　若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图是(　　)[答案]　A2．斜二测画法在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．“平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．”[对点专练2]　如图所示的等腰直角三角形表示一个水平放置的平面图形的直观图，则这个平面图形的面积是________．[答案]　23．计算空间几何体的表面积和体积(1)分析清楚空间几何体的结构，搞清楚该几何体的各个部分的构成特点；(2)进行合理的转化和一些必要的等积变换．[对点专练3]　如图所示，一个空间几何体的正(主)视图和俯视图都是边长为1的正方形，侧(左)视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的表面积为(　　)A．4π　　　　B．3π　　　　C．2π　　　　D.π[答案]　D4．与球有关的切接问题长方体外接球半径为R时有(2R)2＝a2＋b2＋c2；棱长为a的正四面体内切球半径r＝a，外接球半径R＝a.[对点专练4]　已知正三棱锥P－ABC，点P，A，B，C都在半径为的球面上，若PA，PB，PC两两相互垂直，则球心到截面ABC的距离为________．[答案]　5．空间直线、平面的位置关系不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易误得出m⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m⊂α的限制条件．[对点专练5]　已知b，c是平面α内的两条直线，则“直线a⊥α”是“直线a⊥b，直线a⊥c”的________条件．[答案]　充分不必要6．用平移法求异面直线所成的角平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；利用异面直线所在几何体的特点，补形平移．计算异面直线所成的角通常在三角形中进行．[对点专练6]　三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为等边三角形，AA1⊥平面ABC，AA1＝AB，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为(　　)A.   B.  C.   D.[答案]　C7．求点到平面的距离(1)直接法．(2)等体积转化法．[对点专练7]　正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为(　　)A．3   B.  C．1   D.[答案]　C[易错盘点]易错点1　三视图认识不清致误【例1】　已知某个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是________．[错解]　[错因分析]　没有理解几何体的三视图的意义，不能正确从三视图还原成几何体，不清楚几何体中的几何关系．[正解]　如图所示，作几何体S－ABCD且知平面SCD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，作SE⊥CD于点E，得SE⊥平面ABCD且SE＝20.∴VS－ABCD＝S正方形ABCD·SE＝；∴这个几何体的体积是.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为虚线．在还原空间几何体实际形状时一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑． [对点专练1]　(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(　　)A.　　　　B.　　　　C．1　　　　D.(2)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体最长棱长的值为________．[解析]　(1)由三视图知该几何体是直三棱柱截去一个三棱锥所剩的几何体，底面是直角边为1的等腰直角三角形，高为2，∴所求体积V＝V柱－V锥＝×2－××2＝，故选A.(2)依题意，几何体是如图所示的三棱锥A－BCD，其中∠CBD＝120°，BD＝2，点C到直线BD的距离为，BC＝2，CD＝2，AB＝2，AB⊥平面BCD，因此AC＝AD＝2，该几何体最长棱长的值为2.[答案]　(1)A　(2)2易错点2　线面关系定理条件使用不当致误【例2】　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1、DB的中点．(1)求证：EF∥平面ABC1D1；(2)求证：EF⊥B1C.[错解]　证明：(1)连接BD1，∵E、F分别为DD1、DB的中点，∴EF∥D1B，∴EF∥平面ABC1D1.(2)∵AC⊥BD，AC⊥D1D，∴AC⊥平面BDD1.∴EF⊥AC.同理EF⊥AB1.∴EF⊥平面AB1C.∴EF⊥B1C.[错因分析]　推理论证不严谨，思路不清晰．[正解]　证明：(1)连接BD1，如图所示，在△DD1B中，E、F分别为DD1、DB的中点，则EF∥D1B.∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊄平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1.(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵AB⊥面BCC1B1，∴B1C⊥AB.又∵B1C⊥BC1，AB，BC1⊂平面ABC1D1，AB∩BC1＝B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1.∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C.证明空间线面位置关系的基本思想是转化与化归，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化．解这类问题时要注意推理严谨，使用定理时找足条件，书写规范等．[对点专练2]　(1)下列命题中错误的是(　　)A．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD．如果平面α⊥平面β，α∩β＝l，过α内任意一点作l的垂线m，则m⊥β(2)已知三条不同直线m，n，l与三个不同平面α，β，γ，有下列命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若α∥β，l⊂α，则l∥β；③α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；④若m，n为异面直线，m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β.其中正确命题的个数是(　　)A．0   B．1  C．2   D．3[解析]　(1)如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ，A正确；如果平面α⊥平面β，那么平面α内平行于交线的直线平行平面β，B正确；如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，C正确；若此点在直线l上，则不能推出m⊥β，D错误，故选D.(2)因为平行于同一平面的两条直线除了平行，还可能相交或成异面直线，所以命题①错误；由直线与平面平行的定义知命题②正确；由于垂直于同一个平面的两个平面可能平行还可能相交，因此命题③错误；过两条异面直线分别作平面互相平行，这两个平面是唯一存在的，因此命题④正确，故选C.[答案]　(1)D　(2)C