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2019届二轮复习集合的概念与运算学案（全国通用）
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1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的+ +k ]
基本关系 ]
相等 ]
集合A与集合B中的所有元素都相同 学, , ,X,X,K]
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A．
高频考点一 集合的含义
例1、[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
答案 A
解析 ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
【变式探究】(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝ ．
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为 ．
【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．学 ！
【变式探究】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3B．4C．5D．6
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝ .
答案 (1)B (2)2
解析 (1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.
当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．学 ！
(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，得＝－1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.
(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．
高频考点二 集合间的基本关系
例2、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
(2)已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x
解析 (1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}．
∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
(2)由x2－2017x＋2016<0，解得1
得a≥2016.
【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【变式探究】(1)若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是( )
A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R
(2)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－1或2 D.或2
【方法技巧】根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
高频考点三 集合的基本运算
例3、[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选A.
【变式探究】(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析 (1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．
(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．
∴∁RQ＝{x|－2
【方法规律】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．
(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
【举一反三】 (1)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )
A．N⊆M B．N∩M＝∅ C．M⊆N D．M∩N＝R
(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U (A∪B)＝( )
A．{2，6} B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
【方法技巧】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
高频考点四 集合的新定义问题
例4、设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为 ；
(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是 ．
解析 (1)由已知得，∁UM＝{1,4,5}，
则∁UM表示的6位字符串为100110.
(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，
而A＝{1,3}，B⊆U，
则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.
答案 (1)100110 (2)4
【总结提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.
【变式探究】若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0B．1C．2D．3
答案 C
【感悟提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式探究】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈ }，B＝{(x，y) x|≤2，|y|≤2，x，y∈ }，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( )
A．77B．49C．45D．30
答案 C
1. （2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
2. （2018年天津卷）设全集为R，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
3. （2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，（2，1）
C. 当且仅当a<0时，（2，1） D. 当且仅当时，（2，1）
【答案】D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
4. （2018年江苏卷）已知集合，，那么 ．
【答案】{1，8}
【解析】由题设和交集的定义可知：.
5. （2018年北京卷）已知集合A={ |<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=
A. {0，1} B. {–1，0，1}
C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2}
【答案】A
【解析】，因此AB=，选A.
6. （2018年全国I卷理数）已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
7. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知集合，则中元素的个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】，
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，选A.
8.（2018年全国Ⅲ卷理数）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得，所以，故答案选C.
1、[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
答案 A
解析 ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
2．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选A.
3、[2017·山东高考]设集合M＝{ －1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( )
A．(－1,1) B．(－1,2)
C．(0,2) D．(1,2)
答案 C
解析 ∵M＝{x|0
4.【2017课标II，理】设集合，。若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即是方程的根，所以， ，故选C．
5．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
6.【2017天津，理1】设集合，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】 ,选B.
1.【2016高考新课标1理数】设集合 ,,则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为所以故选D.
2.【2016高考新课标3理数】设集合 ，则（ ）
(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+）
【答案】D
【解析】由解得或，所以，所以，故选D．
3.【2016年高考四川理数】设集合， 为整数集，则中元素的个数是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】C
【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.
4.【2016高考山东理数】设集合 则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】，，则，选C.
5.【2016高考新课标2理数】已知集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】集合，而，所以，故选C.
6.【2016年高考北京理数】已知集合，，则（ ）
A.B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，故选C.
7.【2016高考浙江理数】已知集合 则（ ）
A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．
【答案】B
【解析】根据补集的运算得．故选B．
1.【2015高考四川，理1】设集合，集合，则（ ）
【答案】A
【解析】
，选A.
2.【2015高考广东，理1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】因为，，所以，故选．
3.【2015高考陕西，理1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，所以，故选A．
4.【2015高考重庆，理1】已知集合A=,B=，则（ ）
A、A=B B、AB= C、AB D、BA
【答案】D
【解析】由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.
5.【2015高考福建，理1】若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，故，故选C．
6.【2015高考山东，理1】已知集合，,则（ ）
（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）
【答案】C
【解析】因为，
所以.故选：C.
7.【2015高考浙江，理1】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由题意得，，∴，故选C.
8.【2015高考江苏，1】已知集合，，则集合中元素的个数为 .
【答案】5
【解析】 则集合中元素的个数为5个.
9.【2015高考上海，理1】设全集．若集合，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以
1.（2014·北京卷） 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{0，1}
C．{0，2} D．{0，1，2}
【答案】C
【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．
2.（2014·福建卷） 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是 ．
【答案】6
3.（2014·广东卷） 已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝( )
A．{0，1} B．{－1，0，2}
C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}
【答案】C
【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．
4.（2014·湖北卷） U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.
5.（2014·辽宁卷） 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0
【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．学！
6.（2014·全国卷） 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )
A．(0，4] B．[0，4)
C．[－1，0) D．(－1，0]
【答案】B
【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1
A．[－2，－1] B．[－1，2)
B．[－1，1] D．[1，2)
【答案】A
【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．
（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
【答案】D
【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．
8.（2014·山东卷） 设集合A＝{ －1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】C
【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.
9.（2014·陕西卷） 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)
【答案】B
【解析】由M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1
A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}
C．{0，1} D．{－1，0}
【答案】A
【解析】由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，故选A.
11.（2014·天津卷） 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，
集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an
12.（2014·浙江卷） 设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝( )
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
【答案】B
【解析】 ∁UA＝{x∈N|2≤x<}＝{2}，故选B.
13.（2014·重庆卷） 设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝ ．学 ！
【答案】{7，9}
【解析】由题知∁UA＝{4，6，7，9，10}，
∴(∁UA)∩B＝{7，9}．
1.了解集合的含义、元素与集合的属于关系；
2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
3.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
5.能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算．
1．元素与集合
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
2．集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
集合间的+ +k ]
基本关系 ]
相等 ]
集合A与集合B中的所有元素都相同 学, , ,X,X,K]
A＝B
子集
A中任意一个元素均为B中的元素
A⊆B
真子集
A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素
AB
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集
集合的交集
集合的补集
图形
语言
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}
A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}
∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
并集的性质：
A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A．
交集的性质：
A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B．
补集的性质：
A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A．
高频考点一 集合的含义
例1、[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
答案 A
解析 ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
【变式探究】(1)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝ ．
(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝∅，则实数a的取值范围为 ．
【感悟提升】(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．学 ！
【变式探究】(1)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为( )
A．3B．4C．5D．6
(2)设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝ .
答案 (1)B (2)2
解析 (1)因为集合M中的元素x＝a＋b，a∈A，b∈B，所以当b＝4时，a＝1,2,3，此时x＝5,6,7.
当b＝5时，a＝1,2,3，此时x＝6,7,8.
所以根据集合元素的互异性可知，x＝5,6,7,8.
即M＝{5,6,7,8}，共有4个元素．学 ！
(2)因为{1，a＋b，a}＝，a≠0，
所以a＋b＝0，得＝－1，
所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.
【方法技巧】解决集合概念问题的一般思路
(1)研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．本例(1)集合B中的代表元素为实数p－q.
(2)要深刻理解元素的互异性，在解决集合中含有字母的问题时，一定要返回代入验证，防止与集合中元素的互异性相矛盾．
高频考点二 集合间的基本关系
例2、(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0
(2)已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x
解析 (1)由x2－3x＋2＝0得x＝1或x＝2，
∴A＝{1,2}．由题意知B＝{1,2,3,4}．
∴满足A⊆C⊆B的集合C可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}共4个．
(2)由x2－2017x＋2016<0，解得1
得a≥2016.
【感悟提升】(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
【变式探究】(1)若集合A＝{x|x>0}，且B⊆A，则集合B可能是( )
A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R
(2)已知集合A＝{x|＝，x∈R}，B＝{1，m}，若A⊆B，则m的值为( )
A．2 B．－1 C．－1或2 D.或2
【方法技巧】根据两集合的关系求参数的方法
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
高频考点三 集合的基本运算
例3、[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选A.
【变式探究】(1)已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
(2)(2016·浙江卷)设集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁RQ)＝( )
A．[2，3] B．(－2，3]
C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)
解析 (1)集合A中元素满足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中满足这一要求的元素只有8和14.共2个元素．
(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．
∴∁RQ＝{x|－2
【方法规律】(1)在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．
(2)一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．
【举一反三】 (1)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )
A．N⊆M B．N∩M＝∅ C．M⊆N D．M∩N＝R
(2)(2016·山东卷)设集合U＝{1，2，3，4，5，6}，A＝{1，3，5}，B＝{3，4，5}，则∁U (A∪B)＝( )
A．{2，6} B．{3，6}
C．{1，3，4，5} D．{1，2，4，6}
【方法技巧】集合的基本运算的关注点
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．
高频考点四 集合的新定义问题
例4、设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，且U的子集可表示由0,1组成的6位字符串，如：{2,4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000.
(1)若M＝{2,3,6}，则∁UM表示的6位字符串为 ；
(2)已知A＝{1,3}，B⊆U，若集合A∪B表示的字符串为101001，则满足条件的集合B的个数是 ．
解析 (1)由已知得，∁UM＝{1,4,5}，
则∁UM表示的6位字符串为100110.
(2)由题意可知A∪B＝{1,3,6}，
而A＝{1,3}，B⊆U，
则B可能为{6}，{1,6}，{3,6}，{1,3,6}，故满足条件的集合B的个数是4.
答案 (1)100110 (2)4
【总结提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.
【变式探究】若集合A具有以下性质：
(Ⅰ)0∈A,1∈A；
(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x－y∈A，且x≠0时，∈A.
则称集合A是“好集”．下列命题正确的个数是( )
(1)集合B＝{－1,0,1}是“好集”；
(2)有理数集Q是“好集”；
(3)设集合A是“好集”，若x∈A，y∈A，则x＋y∈A.
A．0B．1C．2D．3
答案 C
【感悟提升】解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．
【变式探究】已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈ }，B＝{(x，y) x|≤2，|y|≤2，x，y∈ }，定义集合AB＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则AB中元素的个数为( )
A．77B．49C．45D．30
答案 C
1. （2018年浙江卷）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则
A. B. {1，3} C. {2，4，5} D. {1，2，3，4，5}
【答案】C
【解析】因为全集，，所以根据补集的定义得，故选C.
2. （2018年天津卷）设全集为R，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可得：，结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
3. （2018年北京卷）设集合则
A. 对任意实数a， B. 对任意实数a，（2，1）
C. 当且仅当a<0时，（2，1） D. 当且仅当时，（2，1）
【答案】D
【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选D.
4. （2018年江苏卷）已知集合，，那么 ．
【答案】{1，8}
【解析】由题设和交集的定义可知：.
5. （2018年北京卷）已知集合A={ |<2}，B={–2，0，1，2}，则AB=
A. {0，1} B. {–1，0，1}
C. {–2，0，1，2} D. {–1，0，1，2}
【答案】A
【解析】，因此AB=，选A.
6. （2018年全国I卷理数）已知集合，则
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解不等式得，所以，
所以可以求得，故选B.
7. （2018年全国Ⅱ卷理数）已知集合，则中元素的个数为
A. 9 B. 8 C. 5 D. 4
【答案】A
【解析】，
当时，；
当时，；
当时，；
所以共有9个，选A.
8.（2018年全国Ⅲ卷理数）已知集合，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由集合A得，所以，故答案选C.
1、[2017·北京高考]若集合A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，则A∩B＝( )
A．{x|－2＜x＜－1} B．{x|－2＜x＜3}
C．{x|－1＜x＜1} D．{x|1＜x＜3}
答案 A
解析 ∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|x＜－1或x＞3}，
∴A∩B＝{x|－2＜x＜－1}．故选A.
2．[2017·全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x<1}，则( )
A．A∩B＝{x|x<0} B．A∪B＝R
C．A∪B＝{x|x>1} D．A∩B＝∅
答案 A
解析 ∵B＝{x|3x＜1}，∴B＝{x|x＜0}．
又A＝{x|x＜1}，∴A∩B＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}．
故选A.
3、[2017·山东高考]设集合M＝{ －1|<1}，N＝{x|x<2}，则M∩N＝( )
A．(－1,1) B．(－1,2)
C．(0,2) D．(1,2)
答案 C
解析 ∵M＝{x|0
4.【2017课标II，理】设集合，。若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得，即是方程的根，所以， ，故选C．
5．【2017课标3，理1】已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】B
6.【2017天津，理1】设集合，则
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】 ,选B.
1.【2016高考新课标1理数】设集合 ,,则 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【解析】因为所以故选D.
2.【2016高考新课标3理数】设集合 ，则（ ）
(A) [2，3] (B)（- ，2] [3,+） (C) [3,+ ） (D)（0，2] [3,+）
【答案】D
【解析】由解得或，所以，所以，故选D．
3.【2016年高考四川理数】设集合， 为整数集，则中元素的个数是（ ）
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6
【答案】C
【解析】由题意，，故其中的元素个数为5，选C.
4.【2016高考山东理数】设集合 则=（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】，，则，选C.
5.【2016高考新课标2理数】已知集合，，则（ ）（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】集合，而，所以，故选C.
6.【2016年高考北京理数】已知集合，，则（ ）
A.B. C. D.
【答案】C
【解析】由，得，故选C.
7.【2016高考浙江理数】已知集合 则（ ）
A．[2,3] B．( -2,3 ] C．[1,2) D．
【答案】B
【解析】根据补集的运算得．故选B．
1.【2015高考四川，理1】设集合，集合，则（ ）
【答案】A
【解析】
，选A.
2.【2015高考广东，理1】若集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】．
【解析】因为，，所以，故选．
3.【2015高考陕西，理1】设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，所以，故选A．
4.【2015高考重庆，理1】已知集合A=,B=，则（ ）
A、A=B B、AB= C、AB D、BA
【答案】D
【解析】由于，故A、B、C均错，D是正确的，选D.
5.【2015高考福建，理1】若集合 （ 是虚数单位）， ，则 等于 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由已知得，故，故选C．
6.【2015高考山东，理1】已知集合，,则（ ）
（A）（1，3） （B）（1，4） （C）（2，3） （D）（2，4）
【答案】C
【解析】因为，
所以.故选：C.
7.【2015高考浙江，理1】已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】由题意得，，∴，故选C.
8.【2015高考江苏，1】已知集合，，则集合中元素的个数为 .
【答案】5
【解析】 则集合中元素的个数为5个.
9.【2015高考上海，理1】设全集．若集合，，则 ．
【答案】
【解析】因为，所以
1.（2014·北京卷） 已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{0，1}
C．{0，2} D．{0，1，2}
【答案】C
【解析】∵A＝{0，2}，∴A∩B＝{0，2}∩{0，1，2}＝{0，2}．
2.（2014·福建卷） 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系：
①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是 ．
【答案】6
3.（2014·广东卷） 已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝( )
A．{0，1} B．{－1，0，2}
C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}
【答案】C
【解析】本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．
4.（2014·湖北卷） U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，则可以推出A∩B＝∅；若A∩B＝∅，由维思图可知，一定存在C＝A，满足A⊆C，B⊆∁UC，故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要条件．故选C.
5.（2014·辽宁卷） 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝( )
A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}
C．{x|0≤x≤1} D．{x|0
【解析】由题意可知，A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．学！
6.（2014·全国卷） 设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝( )
A．(0，4] B．[0，4)
C．[－1，0) D．(－1，0]
【答案】B
【解析】因为M＝{x|x2－3x－4<0}＝{x|－1
A．[－2，－1] B．[－1，2)
B．[－1，1] D．[1，2)
【答案】A
【解析】集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．
（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M＝{0，1，2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝( )
A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}
【答案】D
【解析】集合N＝[1，2]，故M∩N＝{1，2}．
8.（2014·山东卷） 设集合A＝{ －1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，则A∩B＝( )
A．[0，2] B．(1，3) C．[1，3) D．(1，4)
【答案】C
【解析】根据已知得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．故选C.
9.（2014·陕西卷） 设集合M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}，则M∩N＝( )
A．[0，1] B．[0，1) C．(0，1] D．(0，1)
【答案】B
【解析】由M＝{x|x≥0，x∈R}，N＝{x|x2<1，x∈R}＝{x|－1
A．{－1，0，1，2} B．{－2，－1，0，1}
C．{0，1} D．{－1，0}
【答案】A
【解析】由题意可知，集合A＝{x|－1≤x≤2}，其中的整数有－1，0，1，2，故A∩B＝{－1，0，1，2}，故选A.
11.（2014·天津卷） 已知q和n均为给定的大于1的自然数．设集合M＝{0，1，2，…，q－1}，
集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1，2，…，n}．
(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A.
(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1，2，…，n.证明：若an
12.（2014·浙江卷） 设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁UA＝( )
A．∅ B．{2} C．{5} D．{2，5}
【答案】B
【解析】 ∁UA＝{x∈N|2≤x<}＝{2}，故选B.
13.（2014·重庆卷） 设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则(∁UA)∩B＝ ．学 ！
【答案】{7，9}
【解析】由题知∁UA＝{4，6，7，9，10}，
∴(∁UA)∩B＝{7，9}．
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