2019届二轮复习集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式学案（全国通用）

一、回扣教材，纠错例析
基础回扣(一)　集合常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式
[要点回扣]
1．集合元素的三个特征
集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．
[对点专练1]　集合A＝{a，b，c}中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是(　　)
A．等腰三角形　　　　　　 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
[答案]　A
2．集合的表示方法
描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝f(x)}——函数的定义域；{y|f(x)}——函数的值域；{(x，y)|y＝f(x)}——函数图象上的点集．
[对点专练2]　集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝ .
[答案]　∅
3．空集问题
遇到A∩B＝∅时，你是否注意到“极端”情况：A＝∅或B＝∅；同样在应用条件A∪B＝B⇔A∩B＝A⇔A⊆B时，不要忽略A＝∅的情况．
[对点专练3]　设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则实数m组成的集合是 ．
[答案]　
4．子集个数的计算
对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.
[对点专练4]　满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有 个．
[答案]　7
5．集合中的数形结合
注重数形结合在集合问题中的应用，列举法常借助Venn图解题，描述法常借助数轴来运算，求解时要特别注意端点值．
[对点专练5]　已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，B＝{x|0≤x≤2}，则(∁IA)∪B等于(　　)
A．[1，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[0，＋∞) D．(0，＋∞)
[答案]　C
6．否命题和命题否定的区别
“否命题”是对原命题“若p，则q”既否定其条件，又否定其结论；而“命题p的否定”即：非p，只是否定命题p的结论．
[对点专练6]　已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a＝b.该命题的否命题和命题的否定分别是 .
[答案]　否命题：已知实数a、b，若|a|＋|b|≠0，则a≠b；命题的否定：已知实数a、b，若|a|＋|b|＝0，则a≠b
7．充分、必要条件的判断
“A的充分不必要条件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要条件”则是指A能推出B，且B不能推出A.
[对点专练7]　设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的 条件．
[答案]　充分不必要
8．含有量词的命题的否定
要注意全称命题的否定是特称命题(存在性命题)，特称命题(存在性命题)的否定是全称命题．如对“a，b都是偶数”的否定应该是“a，b不都是偶数”，而不应该是“a，b都是奇数”．求参数范围时，常与补集思想联合应用，即体现了正难则反思想．
[对点专练8]　若存在a∈[1,3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，则实数x的取值范围是 ．
[答案]　(－∞，－1)∪
9．集合、区间的规范应用
在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．
[对点专练9]　不等式－3x2＋5x－2>0的解集为 ．
[答案]　
10．算法
(1)首先要弄清楚这两个变量的变化规律，其次要看清楚循环结束的条件，这个条件由输出要求所决定，看清楚是满足条件时结束还是不满足条件时结束．
(2)条件结构的程序框图中对判断条件的分类是逐级进行的，其中没有遗漏也没有重复，在解题时对判断条件要仔细辨别，看清楚条件和函数的对应关系，对条件中的数值不要漏掉也不要重复了端点值．
[对点专练10]　执行如图所示的程序框图，则输出a的值为 ．

[答案]　341
11．复数的概念
在复数中，对实数、纯虚数、模、共轭复数的考查是重点．
[对点专练11]　若复数 ＝lg(m2－m－2)＋i·lg(m2＋3m＋3)为实数，则实数m的值为 ．
[答案]　－2
12．复数的运算法则
复数的运算法则与实数运算法则相同，主要是除法法则的运用．
[对点专练12]　已知复数 ＝，是 的共轭复数，则||＝ .
[答案]　1
13．合情推理与演绎推理
合情推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳和类比是合情推理常见的方法，在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．
[对点专练13]　 图1有面积关系：＝，则图2有体积关系： .

[答案]　＝
14．直接证明与间接证明
直接证明——综合法、分析法；间接证明——反证法．
[对点专练14]　用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设 ．
[答案]　三角形三个内角都大于60°
15．不等式的性质
不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负，两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．
[对点专练15]　已知a，b，c，d为正实数，且c>d，则“a>b”是“ac>bd”的 条件．
[答案]　充分不必要
16．基本不等式
≥(a，b>0)
(1)推广：≥≥≥(a，b>0)，
(2)用法：已知x，y都是正数，则
①若积xy是定值p，则当x＝y时，和x＋y有最小值2；
②若和x＋y是定值s，则当x＝y时，积xy有最大值s2.
[对点专练16]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，则y＝＋的最小值是 ．
[答案]　9
17．线性规划
解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y的系数的正负；注意最优整数解．
[对点专练17]　设定点A(0,1)，动点P(x，y)的坐标满足条件则|PA|的最小值是 ．
[答案]　
[易错盘点]
易错点1　忽视元素互异性致误
【例1】　已知集合A＝{1，x,2}，B＝{1，x2}，若A∪B＝A，则x的不同取值有 种情况(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
[错解]　由x2＝2，解得x1＝，x2＝－.
由x2＝x，解得x3＝0，x4＝1.
∴选D.
[错因分析]　当x＝1时，集合A、B中元素不满足互异性，错解中忽视了集合中元素的互异性，导致错误．
[正解]　∵A∪B＝A，∴B⊆A.∴x2＝2或x2＝x.由x2＝2，解得x＝±，由x2＝x，解得x＝0或x＝1.当x＝1时，x2＝1，集合A、B中元素不满足互异性，所以符合题意的x为或－或0，共3种情况，故选C.

由集合的关系求参数的值应注意元素性质的具体情况，对求出的参数值要进行验证．
[对点专练1]　
(1)已知1∈{m，m2}，则实数m的值(　　)
A．等于1 B．等于－1
C．等于±1 D．m≠0且m≠1
(2)已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，则实数a的值为 ．
[解析]　(1)因为集合元素具有互异性，所以m2＝1，解得m＝－1或m＝1(舍)，故选B.
(2)由题意得a＋2＝1或(a＋1)2＝1或a2＋3a＋3＝1.解得a＝－1或a＝－2或a＝0.
又当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1不符合集合中元素互异性这一特点．故a≠－2，同理a≠－1，故只有a＝0.
[答案]　(1)B　(2)a＝0
易错点2　遗忘空集致误
【例2】　已知集合A＝{x∈R|x4}，B＝{x∈R|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围是 ．
[错解]　由A∪B＝A知，B⊆A，
∴，
解得a