2019届二轮复习简单的线性规划问题学案（全国通用）

 【情景激趣我爱读】如果设大球和小球的个数分别为个，则由上一节的知识很容易得到它的限制条件，即二元一次不等组.本例其实是在满足限制条件的前提下，求的最大值问题.从而在轻松愉快的气氛中进入本节课的学习.【学习目标我预览】学       学习目标实现地点 1.进一步熟悉二元一次不等式（组）表示的平面区域，了解约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念.“基础知识我填充”→1；“基础题型我先练”→1,2、3；“典型例题我剖析”→典例1、2；“变式思维我迁移”→1、2；“课后巩固我做主”→1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11.2.会用图解法求目标函数的最值.“基础知识我填充”→2；“基础题型我先练”→3；“典型例题我剖析”→典例1、2；“变式思维我迁移”→1、2；“方法技巧我感悟”；“课后巩固我做主”→1、3、5、8、9、10.【基础知识我填充】1.二元一次不等式组2.3.可行解，可行解4.最大，最小 【基础题型我先练】1. 答案C 解析：约束条件所表示的可行域如图所示，当直线x＋2y＝0平行移动到经过点（0，1）时，x＋2y取到最大值0＋2×1＝2．2. 答案：2,0 解析：作出可行域，当平移至与重合时，在轴上的截距最大，过原点是截距最小，所以 3. 解：作出如右图所示的可行域（图中所在的区域，含边界），将平移至点A（C)时，在轴上的截距最大（小）. 学   由解得，所以又由解得C,所以 【典型例题我剖析】典例1：我的基本思路：解答本题可先将目标函数变形找到它的几何意义，再利用解析几何的知识数形结合求最值.我的解题过程：可行域如下图，目标函数 ＝5x＋y的最大值可以看做是直线与可行域（上图中阴影区域）有公共点时截距的最大值.因此，由上图可知当直线平移到点A处时截距最大,移动到B处时，截距最小.所以由解得最优解为A(1,0)．又由，解得最优解，.我的感悟点评：图解法是解决线性规划问题的有效方法，在解题中需要结合平面解析几何的知识将目标函数的最值问题转化为一个直观的几何量，比如直线的截距、斜率等的最值问题，从而实现图解目标，即为“线性规划”.典例2：我的基本思路：本例是约束条件中含有参数的线性规划求最值问题，可以考虑从可行域变化与直线的移动之间的关系入手.我的解题过程：根据题意，画出可行域如下图所示，将目标函数变形为，所以的几何意义即是移动，在与可行域有公共点时截距的最大值，又由与边界线平行，要使截距取得最大值，最多可将平移至与直线重合， 学  ]由解得A（1，2），要使最优解只有一个，需动直线在点A下方（含过点A)时，故实数的取值范围为.我的感悟点评：抓住与直线平行确定最优解的关键，然后通过移动直线数形结合来探究最优解的个数.【变式思维我迁移】我的解题过程：画出满足不等式组的可行域如右图，目标函数化为：－ ，画直线及其平行线，当此直线经过点B时，－ 的值最小， 的值最大；经过A点时， 值最小.由得B，所以，又由得A，所以.我的感悟点评：准确画出可行域和直线，才能通过平移找到正确的最优解，同时使目标函数的最大值的最优解并不一定就是截距最大的点哦.2.我的基本思路：本例约束条件是确定的，从而可行域的形状确定，参数在目标函数中，故变化的是斜率，所需要借助与图形，通过斜率的变化寻求答案.我的解题过程：作出可行域，由变形可得，其表示为斜率为，纵截距为 的平行直线系, 要使目标函数（其中）仅在点处取得最大值，则需直线过Ａ点且在直线（不含界线）之间，即，我的感悟点评：本题通过作出可行域，在挖掘的几何意义的条件下，借助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系，建立满足题设条件的的不等式组即可求解.求解本题需要较强的基本功，同时对几何动态问题的能力要求较高.  【易错问题我纠错】错解剖析：直线的倾斜程度没有画准，导致由图直观分析找错最优解.【方法技巧我归纳】求目标函数最值的基本步骤：1.作出可行域：先作约束条件中的每一个不等式所对应的直线，再确定不等式所对应的半平面，最后求出所有半平面的交集，即求得可行域；学 / 2.做出直线：若目标函数为，则直线即为；3.确定最优解：通常是将直线平移至可行域内，结合的几何意义（与截距有关），从而在可行域内，直线的截距最大或者最小时，直线与可行域的公共点即为最优解.【课后巩固我做主】A层1.答案C解析： ＝2x－y可变形为y＝2x－ ，所以 的意义是该直线在y轴上截距的相反数，故选C.2.答案：C  解析：做出可行域如下图：目标函数 ＝x＋3y，得直线y＝－x＋ ，平移到A(2,4)可得最大值 ＝14.故选C.3.答案：D  解析：约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令 ＝2x＋y，y＝－2x＋ ，作初始直线l0：y＝－2x，作与l0平行的直线l，则直线经过点(1,1)时，(2x＋y)min＝3.答案： 　5解析：图象的三个顶点分别为(－3，－2)、(2，－2)、(2,3)，所以面积为，因为目标函数的最值在顶点处取得，把它们分别代入 ＝x＋y，得x＝2，y＝3时，有 max＝5.5.答案： －3 解析：如图，x＋y＝6过点A(k，k)，k＝3， ＝x＋y在点B处取得最小值，B点在直线x＋2y＝0上，B(－6,3)，∴ min＝－6＋3＝－3. 学   ]6.解：原不等式组等价于作出其围成的区域如图所示，将直线x＋y＝0向右上方平行移动，当其经过点（3，1）时取最小值，当其经过（6，12）时取最大值．∴(x＋y) min＝3＋1＝4，(x＋y)max＝6＋12＝18．即x＋y的最大值和最小值分别是18和4．7.可行域如右图所示：（1）由解得A(1,1)．目标函数 ＝4x－y取得最小值，即它的最优解为(1,1)；学 · （2）∵x－2y＝0与x－2y＋1＝0平行，∴在线段DE上任一点处目标函数 ＝x－2y都取得最小值．即x－2y＋1＝0(1≤x≤3)上任一点都是最优解．       B层8.答案：B 解析：如图，约束条件的平面区域为三角形，而目标函数 ＝ax＋2y即y＝－x＋仅在点(1,0)处取得最小值，故其斜率应满足－1<－<2⇒－4<a<2，选B.9.答案：4解析：画出表示的平面区域如右图所示，则D内的点到直线x＋y＝10的最大距离为d＝＝4.10．解析：画出可行域如图3所示,当时, 目标函数在处取得最大值, 即;当时, 目标函数在点处取得最大值,即,故 11.解：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合．所以，不等式组表示的平面区域如图所示．结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]．【命题规律我总结】知识点命题方式我的应对策略（1）求目标函数的最值  给出线性约束条件，求线性目标函数的最值，或者给出最值求最优解.     做出可行域，借助线性目标函数的几何意义直观解题（2）含参数的线性规划问题  参数可以在约束条件中，也可以在目标函数中     通过图形移动，直观求解（3）     【疑难问题我存档】我的疑难问题我的思维成果（1）确定最优解的途径都有哪些？ 将目标函数的直线平行移动，最先通过或者最后通过的点就是最优解.利用可行域的边界直线的斜率来判断.    （2）     （3）       知识点命题方式我的应对策略 学  ]（1）零点的概念求函数的零点转化为方程问题（2）函数零点的存在性定理判断函数零点所在的大致区间判断区间端点处函数值的符号（3）数形结合思想二次方程根的分布问题由根的分布情况画出二次函数的大致图象.