2019届二轮复习建模思想学案（全国通用）

建模思想数学建模是解决实际问题的关键，从实际问题中建立数学模型，再通过解决数学问题达到解决实际问题的目的.数学建模没有固定的模式，难于进行题型的模式化训练，是对数学综合能力最真实、最有效的考查.阅读理解能力是数学建模的前提，必须准确把握已知信息，分析、处理、提炼加工，建立起涉及方程、函数、不等式、数列、曲线方程等数学模型.问题都是辩证的，反过来有些数学问题的解决也需要找回它的原始出处和原形，为解决数学问题服务.例1.将长度为6cm的铁丝任意分割成3段，从中任意选取一次分割，求这3段能构成三角形三边的概率.解：此题生活背景厚重，数学味道浓.在一次分割中，若知其两段，则第三段也可知.设一次分割中其中两段分别为，则另一段为.首先…⑴，而三边构成三角形…⑵，问题转化为求在条件⑴下条件⑵成立的概率，分别在同一坐标系内画出条件⑴与条件⑵的可行域，不难求得所求为.这里条件⑴是确保三段有意义的，而条件⑵是确保三段能构成三角形的.例2.若，则（ ）（A）   (B)  (C)   (D)解：此题显然要依据各个答案找到与之匹配的函数，通过判定相应的函数的单调性来完成.对于答案（A），构造幂函数，因且，知（A）错误；对于答案（B），其等价于，构造幂函数，因且，知（B）错误；对于答案（D），分别构造对数函数，,数形结合可得，知（D）错误.对于答案（C）的正确性也可做如下论证，其等价于，即，构造函数（），求导可知函数在区间上为增函数，得，而，故答案（C）正确.评析：这里的关键是通过等价转化，将各个答案变形为对函数单调性的判断，其中构建函数是核心.例3.化简：….解：此题咋一看无从下手，几大数学思想试了个遍也无济于事，但若将其与实际结合通过建模找到问题的实际背景便迎刃而解.设想从男、女共个人群中每次不分性别选取人，显然共有种方式，男、女有种方式，男、女有种方式，…，男、1女有种方式，男、0女有种方式，故…=.评析：这里抓住其一般项的特征，注意到恒有，，是建模的关键.例4.在数列…. 中，，则这样的数列共有（  ）（A）100个  (B)120个  (C)140个  (D)160个解：此题最容易想到的是枚举法，但操作起来就显笨拙，易丢易漏，也不契合实际（从答案上看）.若能从题设中抽取出它的现实背景，通过建模来解决问题就容易多了.我们可以从题设条件想象，一只蚂蚁从数轴的原点出发，每次行进1个单位，经过十步行走最终到达点，而，，表明在10次行走中蚂蚁共向左经走了3次（当然共向右行走了7次），故所求符合题设条件的数列共有个.评析：这里数列的相邻两项的差的绝对值等于1是建模的关键.