2019届二轮复习解题技巧　圆锥曲线学案（全国通用）

第2讲　圆锥曲线
[考情考向分析]　1.以选择题、填空题形式考查圆锥曲线的方程、几何性质(特别是离心率).2.以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系(弦长、中点等)．

热点一　圆锥曲线的定义与标准方程
1．圆锥曲线的定义
(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)．
(2)双曲线：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)抛物线：|PF|＝|PM|，点F不在直线l上，PM⊥l于点M.
2．求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”
所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值．
例1　(1)(2018·乌鲁木齐诊断)椭圆的离心率为，F为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在一点与F关于直线y＝x＋4对称，则椭圆方程为(　　)
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1或＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
答案　C
解析　由题意知，＝，得a2＝2b2＝2c2，
当F在x轴上时，
不妨设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
椭圆上任取点P，取焦点F(－c,0)，
则PF中点M，
根据条件可得
联立两式解得x0＝－4，y0＝4－c，
代入椭圆方程解得a＝3，b＝3，
由此可得椭圆方程为＋＝1.
同理，当F在y轴上时，椭圆方程为＋＝1.
(2)(2018·龙岩质检)已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　)
A．1 B．2 C．－1 D．8
答案　A
解析　因为圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为C(1,0)，
所以可得以C(1,0)为焦点的抛物线方程为y2＝4x，
由解得A(1,2)．
抛物线C2：x2＝8y的焦点为F(0,2)，
准线方程为y＝－2，
即有|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|＝1，
当且仅当A，B，F(A在B，F之间)三点共线时，可得最大值1.
思维升华　(1)准确把握圆锥曲线的定义和标准方程及其简单几何性质，注意当焦点在不同坐标轴上时，椭圆、双曲线、抛物线方程的不同表示形式．
(2)求圆锥曲线方程的基本方法就是待定系数法，可结合草图确定．
跟踪演练1　(1)(2018·黑龙江哈尔滨师范大学附属中学模拟)与椭圆C：＋＝1共焦点且渐近线方程为y＝±x的双曲线的标准方程为(　　)
A．x2－＝1 B.－y2＝1
C．y2－＝1 D.－x2＝1
答案　D
解析　∵＋＝1的焦点坐标为(0，±2)，
∴双曲线的焦点为(0，±2)，可得c＝2＝，
由渐近线方程为y＝±x，得＝，
∴a＝，b＝1，
∴双曲线的标准方程为－x2＝1，故选D.
(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线方程为(　　)

A．y2＝9x B．y2＝6x C．y2＝3x D．y2＝x
答案　C
解析　如图分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D，设准线交x轴于点G.

设＝a，则由已知得＝2a，
由抛物线定义，得＝a，故∠BCD＝30°，
在Rt△ACE中，
∵＝|AF|＝3，＝3＋3a，|AC|＝2|AE|，
∴3＋3a＝6，
从而得a＝1，＝3a＝3.
∴p＝＝＝，
因此抛物线方程为y2＝3x，故选C.
热点二　圆锥曲线的几何性质
1．椭圆、双曲线中a，b，c之间的关系
(1)在椭圆中：a2＝b2＋c2，离心率为e＝＝.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为e＝＝.
2．双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.注意离心率e与渐近线的斜率的关系．
例2　(1)(2018·永州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF2与椭圆C的一个交点，且|OA|＝|OF2|＝3|OM|，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　因为|OA|＝|OF2|＝3|OM|，
所以∠F1AF2＝90°.
设|AF1|＝m，|AF2|＝n，
如图所示，由题意可得

Rt△AF1F2∽Rt△OMF2，
所以＝＝，
则m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
n＝3m，
解得m2＝，n2＝9m2＝6b2，
所以＋6b2＝4c2，即＝c2，
解得e＝＝，故选A.
(2)(2018·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则点(4,0)到C的渐近线的距离为(　　)
A. B．2 C. D．2
答案　D
解析　由题意，得e＝＝，c2＝a2＋b2，得a2＝b2.
又因为a>0，b>0，所以a＝b，渐近线方程为x±y＝0，
所以点(4,0)到渐近线的距离为＝2.
思维升华　(1)明确圆锥曲线中a，b，c，e各量之间的关系是求解问题的关键．
(2)在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆或双曲线的几何特点，建立关于参数c，a，b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．

跟踪演练2　(1)(2018·全国Ⅱ)已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为(　　)
A．1－ B．2－ C. D.－1
答案　D
解析　在Rt△PF1F2中，∠PF2F1＝60°，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，且焦距|F1F2|＝2，
则|PF2|＝1，|PF1|＝，
由椭圆的定义可知，2a＝1＋，2c＝2，
得a＝，c＝1，所以离心率e＝＝＝－1.
(2)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c，直线l过点且与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为半径的圆与直线l交于M，N两点，若|MN|＝c，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±2x D．y＝±4x
答案　B
解析　方法一　由题意可设渐近线方程为y＝x，则直线l的斜率kl＝－，
直线l的方程为y＝－，
整理可得ax＋by－a2＝0.
焦点(c,0)到直线l的距离
d＝＝，
则弦长为2＝2＝c，
整理可得c4－9a2c2＋12a3c－4a4＝0，
即e4－9e2＋12e－4＝0，
分解因式得＝0.
又双曲线的离心率e>1，则e＝＝2，
所以＝＝＝，
所以双曲线C的渐近线方程为y＝±x.
方法二　圆心到直线l的距离为＝，
∴＝，∴c2－3ac＋2a2＝0，
∴c＝2a，b＝a，∴渐近线方程为y＝±x.
热点三　直线与圆锥曲线
判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法
(1)代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x，y的方程组，消去y(或x)得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．
(2)几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．
例3　(2018·衡水金卷调研)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点．
(1)若直线AB与椭圆的长轴垂直，|AB|＝a，求椭圆的离心率；
(2)若直线AB的斜率为1，|AB|＝，求椭圆的短轴与长轴的比值．
解　(1)由题意可知，直线AB的方程为x＝－c，
∴|AB|＝＝a，
即a2＝4b2，
故e＝＝＝＝.
(2)设F1(－c,0)，则直线AB的方程为y＝x＋c，
联立消去y，
得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2c2－a2b2＝0，
Δ＝4a4c2－4a2(a2＋b2)(c2－b2)＝8a2b4.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·＝·
＝＝，
∴a2＝2b2，∴＝，
∴＝，即椭圆的短轴与长轴之比为.
思维升华　解决直线与圆锥曲线问题的通法是联立方程，利用根与系数的关系，设而不求思想，弦长公式等简化计算；涉及中点弦问题时，也可用“点差法”求解．
跟踪演练3　如图所示，抛物线y2＝4x的焦点为F，动点T(－1，m)，过F作TF的垂线交抛物线于P，Q两点，弦PQ的中点为N.

(1)证明：线段NT平行于x轴(或在x轴上)；
(2)若m>0且|NF|＝|TF|，求m的值及点N的坐标．
(1)证明　抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，动点T(－1，m)在准线上，
则kTF＝－.
当m＝0时，T为抛物线准线与x轴的交点，这时PQ为抛物线的通径，点N与焦点F重合，显然线段NT在x轴上；
当m≠0时，由条件知kPQ＝，
所以直线PQ的方程为y＝(x－1)．
联立消去y，
得x2－(2＋m2)x＋1＝0，
Δ＝[－(2＋m2)]2－4＝m2(4＋m2)>0，
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
可知x1＋x2＝2＋m2，y1＋y2＝(x1＋x2－2)＝2m.
所以弦PQ的中点N，又T(－1，m)，
所以kNT＝0，则NT平行于x轴．
综上可知，线段NT平行于x轴(或在x轴上)．
(2)解　已知|NF|＝|TF|，
在△TFN中，tan∠NTF＝＝1，得∠NTF＝45°，
设A是准线与x轴的交点，则△TFA是等腰直角三角形，所以|TA|＝|AF|＝2，
又动点T(－1，m)，其中m>0，则m＝2.
因为∠NTF＝45°，所以kPQ＝tan 45°＝1，
又焦点F(1,0)，可得直线PQ的方程为y＝x－1.
由m＝2，得T(－1,2)，
由(1)知线段NT平行于x轴，
设N(x0，y0)，则y0＝2，代入y＝x－1，得x0＝3，
所以N(3,2)．
综上可知，m＝2，N(3,2)．

真题体验
1．(2017·北京)若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________.
答案　2
解析　由双曲线的标准方程知，a＝1，b2＝m，c＝，
故双曲线的离心率e＝＝＝，
∴1＋m＝3，解得m＝2.
2．(2017·全国Ⅱ改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为________．
答案　2
解析　设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2，得圆心到渐近线的距离为＝.
由点到直线的距离公式，得＝，解得b2＝3a2.
所以双曲线C的离心率e＝＝＝＝2.
3．(2017·全国Ⅱ改编)过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，则M到直线NF的距离为________．
答案　2
解析　抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式，

可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，∴M(3,2)．
∵MN⊥l，∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝3－(－1)＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
4．(2017·山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若|AF|＋|BF|＝4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．
答案　y＝±x
解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由消去x，
得a2y2－2pb2y＋a2b2＝0，
∴y1＋y2＝.
又∵|AF|＋|BF|＝4|OF|，
∴y1＋＋y2＋＝4×，即y1＋y2＝p，
∴＝p，即＝，∴＝，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
押题预测
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点A，交另一条渐近线于点B，且＝，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B. C. D．2
押题依据　圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的灵魂，其中离心率、渐近线是高考命题的热点．
答案　A
解析　由F2(c,0)到渐近线y＝x的距离为d＝＝b，即＝b，则＝3b.
在△AF2O中，＝c，tan∠F2OA＝，tan∠AOB＝＝，化简可得a2＝2b2，即c2＝a2＋b2＝a2，即e＝＝，故选A.
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在该椭圆上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AOB的面积为，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程．
押题依据　椭圆及其性质是历年高考的重点，直线与椭圆的位置关系中的弦长、中点等知识应给予充分关注．
解　(1)由题意可得e＝＝，
又a2＝b2＋c2，
所以b2＝a2.
因为椭圆C经过点，
所以＋＝1，
解得a2＝4，所以b2＝3，
故椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由(1)知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，
由消去x，得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，
显然Δ>0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1y2＝－，
所以|y1－y2|＝
＝ ＝，
所以S△AOB＝·|F1O|·|y1－y2|
＝＝，
化简得18t4－t2－17＝0，
即(18t2＋17)(t2－1)＝0，
解得t＝1，t＝－(舍去)．
又圆O的半径r＝＝，
所以r＝，故圆O的方程为x2＋y2＝.

A组　专题通关
1．(2018·合肥模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的上焦点为F，M是双曲线虚轴的一个端点，过F，M的直线交双曲线的下支于A点．若M为AF的中点，且||＝6，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C．y2－＝1 D.－x2＝1
答案　C
解析　设M为双曲线虚轴的右端点，
由题意，可得F(0，c)，M(b,0)，则A(2b，－c)，
由题意可得解得a＝1，b＝2，
所以双曲线C的方程为y2－＝1.
2．(2018·潍坊模拟)设P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，c，e分别表示该双曲线的半焦距和离心率．若·＝0，直线PF2交y轴于点A，则△AF1P的内切圆的半径为(　　)
A．a B．b C．c D．e
答案　A
解析　根据题意·＝0，可知△AF1P是直角三角形，根据直角三角形的内切圆的半径公式以及双曲线的定义可知2r＝|PF1|＋|PA|－|AF1|＝|PF1|＋|PA|－|AF2|＝|PF1|－(|AF2|－|PA|)＝|PF1|－|PF2|＝2a，求得r＝a，故选A.
3．(2018·天津)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　设双曲线的右焦点为F(c,0)．
将x＝c代入－＝1，得－＝1，
∴y＝±.
不妨设A，B.
双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，
则d1＝＝＝(c－b)，
d2＝＝＝(c＋b)，
∴d1＋d2＝·2c＝2b＝6，∴b＝3.
∵＝2，c2＝a2＋b2，∴a2＝3，
∴双曲线的方程为－＝1.
故选A.
4．(2018·全国Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)
A. B．2 C. D.
答案　C
解析　如图，过点F1向OP的反向延长线作垂线，垂足为P′，连接P′F2，

由题意可知，四边形PF1P′F2为平行四边形，且△PP′F2是直角三角形．
因为|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，
所以|F2P|＝a＝b，
所以c＝＝a，所以e＝＝.
5．(2018·全国Ⅲ)已知点M(－1,1)和抛物线C：y2＝4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________.
答案　2
解析　方法一　设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∴y－y＝4(x1－x2)，∴k＝＝.
设AB的中点为M′(x0，y0)，抛物线的焦点为F，分别过点A，B作准线x＝－1的垂线，垂足为A′，B′，
则|MM′|＝|AB|＝(|AF|＋|BF|)
＝(|AA′|＋|BB′|)．
∵M′(x0，y0)为AB的中点，
∴M为A′B′的中点，∴MM′平行于x轴，
∴y1＋y2＝2，∴k＝2.
方法二　由题意知，抛物线的焦点坐标为F(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，直线方程与y2＝4x联立，消去y，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，x1＋x2＝.
由M(－1,1)，得＝(－1－x1,1－y1)，
＝(－1－x2,1－y2)．
由∠AMB＝90°，得·＝0，
∴(x1＋1)(x2＋1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，
∴x1x2＋(x1＋x2)＋1＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0.
又y1y2＝k(x1－1)·k(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，y1＋y2＝k(x1＋x2－2)，
∴1＋＋1＋k2－k＋1＝0，
整理得－＋1＝0，解得k＝2.
6．(2018·北京)已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．
答案　－1　2
解析　方法一　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，则＝tan 60°＝，
∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.
由得x2＝.
如图，设D点的横坐标为x，
由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.
∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，
∴3－－2＝0，解得＝2－3.
∴椭圆M的离心率e2满足e＝1－＝4－2.
∴e2＝－1.

方法二　双曲线N的渐近线方程为y＝±x，
则＝tan 60°＝.
又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.
如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形的边长为1，
则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.
又E为椭圆M上一点，则|EF|＋|EC|＝2a，即1＋＝2a，
∴a＝.
∴椭圆M的离心率为＝＝－1.
7．(2018·衡阳模拟)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且直线l与圆x2－px＋y2－p2＝0交于C，D两点，若|AB|＝3|CD|，则直线l的斜率为________．
答案　±
解析　由题意得F，由x2－px＋y2－p2＝0，配方得2＋y2＝p2，
所以直线l过圆心，可得|CD|＝2p，
若直线l的斜率不存在，则l：x＝，|AB|＝2p，|CD|＝2p，不符合题意，
∴直线l的斜率存在．
∴可设直线l的方程为y＝k，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
化为x2－x＋＝0，
所以x1＋x2＝p＋，
所以|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＋，
由|AB|＝3|CD|，所以2p＋＝6p，
可得k2＝，所以k＝±.
8．(2018·郑州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，且离心率为，△ABC的三个顶点都在椭圆C上，设△ABC三条边AB，BC，AC的中点分别为D，E，M，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3，且k1，k2，k3均不为0.O为坐标原点，若直线OD，OE，OM的斜率之和为1，则＋＋＝________.
答案　－
解析　由题意可得c＝1，＝，
所以a＝2，b＝，
椭圆C：＋＝1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C，
＋＝1，＋＝1，
两式作差得＝－，
则＝－，＝－kOD，
同理可得＝－kOM，＝－kOE，
所以＋＋＝－＝－.
9．(2018·全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．
解　(1)由题意得F(1,0)，l的方程为y＝k(x－1)(k>0)．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝.
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝.
由题意知＝8，解得k＝－1(舍去)或k＝1.
因此l的方程为x－y－1＝0.
(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y－2＝－(x－3)，
即y＝－x＋5.
设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，
则
解得或
因此所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
10．(2018·天津)设椭圆＋＝1(a>b>0)的右顶点为A，上顶点为B，已知椭圆的离心率为，|AB|＝.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线l：y＝kx(k<0)与椭圆交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第四象限．若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值．
解　(1)设椭圆的焦距为2c，由已知有＝，又由a2＝b2＋c2，可得2a＝3b.
又|AB|＝＝，从而a＝3，b＝2，所以椭圆的方程为＋＝1.
(2)设点P的坐标为(x1，y1)，点M的坐标为(x2，y2)，
由题意知，x2>x1>0，点Q的坐标为(－x1，－y1)．
由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得|PM|＝2|PQ|，
从而x2－x1＝2[x1－(－x1)]，即x2＝5x1.
由题意求得直线AB的方程为2x＋3y＝6，
由方程组消去y，可得x2＝.
由方程组消去y，可得x1＝ .
由x2＝5x1，可得＝5(3k＋2)，两边平方，
整理得18k2＋25k＋8＝0，解得k＝－或k＝－.
当k＝－时，x2＝－9<0，不合题意，舍去；
当k＝－时，x2＝12，x1＝，符合题意．
所以k的值为－.
B组　能力提高
11．(2018·长沙模拟)2000多年前，古希腊大数学家阿波罗尼奥斯(Apollonius)发现：平面截圆锥的截口曲线是圆锥曲线．已知圆锥的高为PH，AB为地面直径，顶角为2θ，那么不过顶点P的平面与PH夹角>a>θ时，截口曲线为椭圆；与PH夹角a＝θ时，截口曲线为抛物线；与PH夹角θ>a>0时，截口曲线为双曲线．如图，底面内的直线AM⊥AB，过AM的平面截圆锥得到的曲线为椭圆，其中与PB的交点为C，可知AC为长轴．那么当C在线段PB上运动时，截口曲线的短轴端点的轨迹为(　　)

A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
答案　D
解析　如图，

因为对于给定的椭圆来说，短轴的端点Q到焦点F的距离等于长半轴a，但短轴的端点Q到直线AM的距离也是a，即说明短轴的端点Q到定点F的距离等于到定直线AM的距离，且点F不在定直线AM上，所以由抛物线的定义可知，短轴的端点的轨迹是抛物线的一部分，故选D.
12．双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与C的左支相交于M，N两点，若△MNF2的一个内角为60°，则C的离心率为________．
答案　
解析　画出图形如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．

由题意得△MNF2是等边三角形，点M，N关于x轴对称，且|F1M|＝|F1N|＝2c，∠MF1N＝120°.
∴点M的横坐标为－c－2c·cos 60°＝－2c，
纵坐标为2c·sin 60°＝c，
故点M(－2c，c)．
又点M在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，
∴－＝1，即－＝1，
整理得4c4－8c2a2＋a4＝0，
∴4e4－8e2＋1＝0，
解得e2＝＝，
∴e＝，
又e>1，故e＝.
13．已知直线MN过椭圆＋y2＝1的左焦点F，与椭圆交于M，N两点，直线PQ过原点O与MN平行，且与椭圆交于P，Q两点，则＝________.
答案　2
解析　方法一　特殊化，设MN⊥x轴，
则|MN|＝＝＝，|PQ|2＝4，＝＝2.
方法二　由题意知F(－1,0)，当直线MN的斜率不存在时，|MN|＝＝，|PQ|＝2b＝2，
则＝2；
当直线MN的斜率存在时，设直线MN的斜率为k，
则MN的方程为y＝k(x＋1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立方程
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
Δ＝8k2＋8>0.
由根与系数的关系，得
x1＋x2＝－，x1x2＝，
则|MN|＝＝.
直线PQ的方程为y＝kx，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则解得x2＝，y2＝，
则|OP|2＝x＋y＝，
又|PQ|＝2|OP|，
所以|PQ|2＝4|OP|2＝，
所以＝2.
综上，＝2.
14．(2017·天津)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F(－c,0)，右顶点为A，点E的坐标为(0，c)，△EFA的面积为.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设点Q在线段AE上，|FQ|＝，延长线段FQ与椭圆交于点P，点M，N在x轴上，PM∥QN，且直线PM与直线QN间的距离为c，四边形PQNM的面积为3c.
①求直线FP的斜率；
②求椭圆的方程．
解　(1)设椭圆的离心率为e.
由已知可得(c＋a)c＝.
又由b2＝a2－c2，可得2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，解得e＝－1或e＝.
又因为0 所以e＝.所以椭圆的离心率为.
(2)①依题意，设直线FP的方程为x＝my－c(m>0)，
则直线FP的斜率为.
由(1)知a＝2c，可得直线AE的方程为＋＝1，
即x＋2y－2c＝0，与直线FP的方程联立，
可得x＝，y＝，
即点Q的坐标为.
由已知|FQ|＝，
有2＋2＝2，
整理得3m2－4m＝0，所以m＝(m＝0舍去)，
即直线FP的斜率为.
②由a＝2c，可得b＝c，
故椭圆方程可以表示为＋＝1.
由①得直线FP的方程为3x－4y＋3c＝0，与椭圆方程联立得
消去y，整理得7x2＋6cx－13c2＝0，
解得x＝－(舍去)或x＝c.
因此可得点P，
进而可得|FP|＝＝，
所以|PQ|＝|FP|－|FQ|＝－＝c.
由已知，线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离，故直线PM和QN都垂直于直线FP.
因为QN⊥FP，
所以|QN|＝|FQ|·tan∠QFN＝×＝，
所以△FQN的面积为|FQ||QN|＝.
同理△FPM的面积等于.
由四边形PQNM的面积为3c，得－＝3c，
整理得c2＝2c.又由c>0，得c＝2.
所以椭圆的方程为＋＝1.