2019届二轮复习解题技巧导数及其应用学案（全国通用）

第19讲　导数及其应用
专 题 探 究　【p72】
【命题趋势】
2019高考对本节内容的考查仍将突出导数的工具性，主要涉及导数及其运算，灵活运用导数公式及运算法则进行求导，理解导数的几何意义，会求切线方程．题型选择、填空、解答均可出现，一般属于中档题目．重点考查利用导数研究函数极值、最值及单调性问题和生活中的优化问题，这也是高考的必考点，其中蕴含对转化与化归、分类讨论和数形结合等数学思想方法的考查，综合性强，有一定难度，一般以大题的形式出现．
【备考建议】
新课标命题的高考中，导数属于高考重点考查的内容，在复习中应对这些问题予以关注：
(1)定积分的简单计算或利用定积分求某些图形的面积，确定或应用过某点的切线的斜率(方程)；
(2)利用函数的单调性与导数的关系，讨论含有参数的较复杂基本函数的单调性(区间)，根据函数的单调性，利用导数求某些参数的取值范围；
(3)利用函数的极值与导数的关系，求某些含有参数的较复杂基本函数的极值大小、个数或最值，根据函数极值的存在情况，利用导数求某些参数的取值范围．要掌握解决这些问题的基本数学方法与数学思想，不断培养提高数形结合、转化与化归、分类讨论、函数与方程的数学思想．
典 例 剖 析　【p72】
探究一　定积分及其几何意义
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1(1)曲线f(x)＝、直线x＝2、x＝3以及x轴所围成的封闭图形的面积是2ln，则实数a的值为(　　)
A．－2 B．2
C．1 D．－1
【解析】选B.
因f(x)＝a，故f(x)dx＝dx＝a[ln(x－1)－ln(x＋1)]|＝aln |＝a＝aln，则由aln＝2ln，解得a＝2，故选B.
(2)已知函数f(x)＝ln x＋x2＋x在x＝1处的切线斜率为t，g(x)＝
则g(x)dx＝________．
【解析】6＋
由f′(x)＝＋x＋1，得t＝3，
所以g(x)＝
所以g(x)dx＝dx＋
dx，
其中dx＝|＝6，
dx由定积分的几何意义可知，其表示半径为3的圆的面积的，即，故g(x)dx＝6＋.
【点评】定积分与微积分基本定理的常见题型有两类：一类是定积分的计算，关键是利用导数通过逆向思维找原函数；另一类是曲边多边形面积的计算，关健是通过数形结合确定被积函数．
探究二　导数的几何意义及应用
例2(1)已知曲线C1：f(x)＝＋x，曲线C2：g(x)＝ax－cos x．若对于曲线C1上任意一点的切线l1，在曲线C2上总存在与l1垂直的切线l2，则实数a的取值范围是________．
【解析】－≤a≤－1
直线l1在任意P点的切线斜率k＝f′(x0)＝＋1＝－＋＋1，令t＝，则00)与g(x)＝a2ln x＋b有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b的最大值为(　　)
A. B.e2 C. D．－
【解析】选A.
设公共点坐标为(x0，y0)，则f′(x)＝3x－2a，g′(x)＝，所以有f′(x0)＝g′(x0)，即3x0－2a＝，解出x0＝a，又y0＝f(x0)＝g(x0)，所以有x－2ax0＝a2ln x0＋b，故b＝x－2ax0－a2ln x0，对b求导有b′＝－2a(1＋ln a)，故b关于a的函数在为增函数，在为减函数，所以当a＝时b有最大值，选A.
【点评】导数的几何意义是高考考查的热点．在三类题型中均有可能考查，同时在解答题中进行考查时，综合性较强，往往综合考查方程与不等式知识，考查函数方程思想、数形结合思想、推理论证能力．
探究三　利用导数研究函数的单调性
例3已知函数f(x)＝aln x(a∈R)．
(1)设h(x)＝f(x)＋ax2＋(a2＋2)x，求函数h(x)的单调区间；
(2)设函数y＝f(x)与函数u(x)＝的图象的一个公共点为P，若过点P有且仅有一条公切线，求点P的坐标及实数a的值．
【解析】(1)因h(x)＝aln x＋ax2＋(a2＋2)x(x>0)，
故h′(x)＝＋2ax＋(a2＋2)＝＝.
①若a≥0，则h′(x)>0，函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②若a－，即a2>2，也即a