2019届二轮复习满分示范课——立体几何学案（全国通用）

满分示范课——立体几何【典例】　(满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)如图，四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.(1)证明：直线BC∥平面PAD；(2)若△PCD的面积为2，求四棱锥P­ABCD的体积．[规范解答](1)在平面ABCD中，因为∠BAD＝∠ABC＝90°.所以BC∥AD，1分又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD.所以直线BC∥平面PAD.3分(2)解：如图，取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD，7分因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.8分设BC＝x，则CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x，如图，取CD的中点N，连接PN，则PN⊥CD，所以PN＝x.因为△PCD的面积为2，所以×x×x＝2，解得x＝－2(舍去)或x＝2.10分于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.所以四棱锥P­ABCD的体积V＝××2＝4.12分高考状元满分心得1．写全得分步骤：在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写．如第(1)问中的BC∥AD，第(2)问中CM⊥AD，PM⊥CM，PN＝x等．2．注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，在第(2)问的求解过程中，证明CM⊥AD时，利用第(1)问证明的结果BC∥AD.3．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在解立体几何类解答题时，一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD两个条件，否则不能得全分，在第(2)问中，证明PM⊥平面ABCD时，一定写全三个条件，如平面PAD∩平面ABCD＝AD，PM⊥AD一定要有，否则要扣分，再如第(2)问中，一定要分别求出BC，AD及PM，再计算几何体的体积．[解题程序]　第一步：根据平面几何性质，证BC∥AD.第二步：由线面平行判定定理，证线BC∥平面PAD.学       第三步：判定四边形ABCM为正方形，得CM⊥AD.第四步：证明直线PM⊥底面ABCD.第五步：利用面积求边BC，并计算相关量．第六步：计算四棱锥P­ABCD的体积．[跟踪训练]1.(2018·全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．(1)证明：因为AP＝CP＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝2.连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2，知OP⊥OB.又OP⊥AC，且OB∩AC＝O，所以PO⊥平面ABC.(2)解：如图，作CH⊥OM，垂足为H.又由(1)可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC＝AC＝2，CM＝BC＝，∠ACB＝45°. 学   ]所以OM＝，CH＝＝. 学    ]所以点C到平面POM的距离为.2.(2018·潍坊模拟)如图，直三棱柱 ABC­A1B1C1中，CC1＝4，AB＝BC＝2，AC＝2，点M是棱AA1上不同于A，A1的动点．(1)证明：BC⊥B1M；(2)若∠CMB1＝90°，判断点M的位置并求出此时平面MB1C把此棱柱分成的两部分几何体的体积之比．(1)证明：在△ABC中，因为AB2＋BC2＝8＝AC2，所以∠ABC＝90°，所以BC⊥AB，又因为BC⊥BB1，BB1∩AB＝B，所以BC⊥平面ABB1A1又B1M⊂平面ABB1A1，所以BC⊥B1M.(2)解：当∠CMB1＝90°时，设AM＝t(0＜t＜4)，所以A1M＝4－t，则在Rt△MAC中，CM2＝t2＋8，同理得B1M2＝(4－t)2＋4，B1C2＝16＋4＝20，据B1C2＝MB＋MC2，所以t2＋8＋(4－t)2＋4＝20，整理得，t2－4t＋4＝0，所以t＝2，故M为AA1的中点．此时平面MB1C把此棱柱分成两个几何体为：四棱锥C­ABB1M和四棱锥B1­A1MCC1.由(1)知四棱锥C­ABB1M的高为BC＝2， 学  ]  | |k ]S梯形ABB1M＝×2＝6，所以V锥C­ABB1M＝×6×2＝4，又V柱＝×2×2×4＝8，所以V锥B1­A1MCC1＝8－4＝4，故两部分几何体的体积之比为1∶1.