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    2019届二轮复习满分示范课——函数与导数学案(全国通用)

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    2019届二轮复习满分示范课——函数与导数学案(全国通用)

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    满分示范——函数与导数【典例】 (2017·全国卷)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)a0时,证明:f (x)2.(1)解:f(x)的定义域(0)f(x)2ax2a1a0则当x(0)f(x)0f(x)(0)上单调递增.a0xf(x)0xf(x)0.f(x)上单调递增上单调递减.(2)证明:(1)a0f(x)x=-处取得最大值最大值为fln1所以f(x)2等价于ln12ln10g(x)ln xx1g′(x)1.x(01)g(x)0x(1)g(x)0.  ]所以g(x)(01)上单调递增(1)上单调递减.故当x1g(x)取得最大值最大值为g(1)0.   |  |X|X|K]所以当x0g(x)0从而当a0ln10f(x)2.高考状元满分心得1.得步骤分:抓住得分点的步骤,步步为赢,求得满分.如第(1)问中,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用单调性求g(x)的最小值和不等式性质的运用.2.得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无则没分,如第(1)问中,求出f(x)的定义域,f (x)(0,+)上单调性的判断;第(2)问,f(x)x=-处最值的判定,f(x)2等价转化为ln10等.3.得计算分:解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中,求导f′(x)准确,否则全盘皆输,第(2)问中,准确计算f(x)x=-处的最大值.[解题程序] 第一步:求函数f(x)的导函数f′(x)第二步:分类讨论f(x)的单调性;第三步:利用单调性f(x)的最大值;第四步:根据要证的不等式的结构特点构造函数g(x)第五步:求g(x)的最大值,得出要证的不等式;第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.[跟踪训练] (2017·山东卷改编)已知函数f(x)x3ax2,其中参数a0.(1)a2时,求曲线yf(x)在点(3f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)f(x)(xa)cos xsin x,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.解:(1)由题意f′(x)x2ax所以当a2f(3)0f(x)x22x所以f′(3)3因此曲线yf(x)在点(3f (3))处的切线方程是y3(x3)3xy90.(2)因为g(x)f(x)(xa)cos xsin x所以g′(x)f′(x)cos x(xa)sin xcos xx(xa)(xa)sin x(xa)(xsin x)h(x)xsin xh′(x)1cos x0所以h(x)R上单调递增.因为h(0)0所以x0h(x)0x0h(x)0.a0g(x)x(xsin x)        x()g(x)0g(x)单调递增;所以g(x)()上单调递增g(x)无极大值也无极小值.a0g(x)(xa)(xsin x)     ]x(0)xa0g(x)0g(x)单调递增;x(0a)xa0g(x)0g(x)单调递减;x(a)xa0g(x)0g(x)单调递增.所以x0g(x)取到极大值极大值是g(0)=-axag(x)取到极小值极小值是g(a)=-a3sin a.综上所述a0函数g(x)(,+)上单调递增,无极值;a0函数g(x)(0)(a)上单调递增(0a)上单调递减函数既有极大值又有极小值极大值是g(0)=-a极小值是g(a)=-a3sin a.         

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