2019届二轮复习第九章第8节　曲线与方程学案（全国通用）

第8节　曲线与方程
最新考纲　1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.

知 识 梳 理
1.曲线与方程的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线.
2.求动点的轨迹方程的基本步骤

[常用结论与微点提醒]
1.“曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”的充分不必要条件.
2.曲线的交点与方程组的关系：
(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；
(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.

诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.(　　)
(2)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.(　　)
(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.(　　)
(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.(　　)
解析　对于(2)，由方程得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示曲线，错误；对于(4)，曲线y＝是曲线x＝y2的一部分，错误.
答案　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.已知M(－1，0)，N(1，0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是(　　)
A.双曲线 B.双曲线左支
C.一条射线 D.双曲线右支
解析　由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.
答案　C
3.(2018·广州调研)方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是(　　)
A.两条直线 B.两条射线
C.两条线段 D.一条直线和一条射线
解析　原方程可化为或－1＝0，即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.
答案　D
4.已知A(－2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点的轨迹方程是(　　)
A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0) B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)
C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0) D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)
解析　由角的平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，设P(x，y)，则＝2，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.
答案　C
5.过椭圆＋＝1(a>b>0)上任意一点M作x轴的垂线，垂足为N，则线段MN中点的轨迹方程是 .
解析　设MN的中点为P(x，y)，
则点M(x，2y)在椭圆上，∴＋＝1，
即＋＝1(a>b>0).
答案　＋＝1(a>b>0)

考点一　直接法求轨迹方程
【例1】 (1)(2018·豫北名校联考)已知△ABC的顶点B(0，0)，C(5，0)，AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为 .
(2)(2018·大同模拟)与y轴相切并与圆C：x2＋y2－6x＝0也外切的圆的圆心的轨迹方程为 .
解析　(1)设A(x，y)，由题意可知D.又∵|CD|＝3，∴＋＝9，即(x－10)2＋y2＝36，由于A，B，C三点不共线，∴点A不能落在x轴上，即y≠0，∴点A的轨迹方程为(x－10)2＋y2＝36(y≠0).
(2)若动圆在y轴右侧，设与y轴相切，且与圆x2＋y2－6x＝0外切的圆的圆心为P(x，y)(x>0)，则半径长为|x|，因为圆x2＋y2－6x＝0的圆心为(3，0)，所以＝|x|＋3，则y2＝12x(x>0)，
若动圆在y轴左侧，则y＝0，即圆心的轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x0)或y＝0(x3)

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2018·长沙月考)若方程x2＋＝1(a是常数)，则下列结论正确的是(　　)
A.任意实数a方程表示椭圆
B.存在实数a方程表示椭圆
C.任意实数a方程表示双曲线
D.存在实数a方程表示抛物线
解析　当a>0且a≠1时，方程表示椭圆，故选B.
答案　B
2.若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是(　　)
A.圆 B.椭圆
C.双曲线 D.抛物线
解析　以线段MN的中点为原点(0，0)，以MN所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则M(－3，0)，N(3，0).
设P(x，y)，则·＝(－3－x，－y)·(3－x，－y)＝x2＋y2－9＝0，即x2＋y2＝9，则P点的轨迹是以(0，0)为圆心，以3为半径的圆.
答案　A
3.已知点P在曲线2x2－y＝0上移动，则点A(0，－1)与点P连线的中点的轨迹方程是(　　)
A.y2＝2x B.y2＝8x2
C.y＝4x2－ D.y＝4x2＋
解析　设AP的中点坐标为(x，y)，则P(2x，2y＋1)，由点P在曲线上，得2·(2x)2－(2y＋1)＝0，即y＝4x2－.
答案　C
4.设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则P点的轨迹方程为(　　)
A.y2＝2x B.(x－1)2＋y2＝4
C.y2＝－2x D.(x－1)2＋y2＝2
解析　如图，设P(x，y)，圆心为M(1，0).连接MA，PM，则MA⊥PA，且|MA|＝1，
又因为|PA|＝1，
所以|PM|＝＝，
即|PM|2＝2，
所以(x－1)2＋y2＝2.
答案　D
5.(2018·长春模拟)设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点.线段AQ的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解析　∵M为AQ的垂直平分线上一点，则|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的轨迹是以定点C，A为焦点的椭圆.
∴a＝，∴c＝1，则b2＝a2－c2＝，
∴M的轨迹方程为＋＝1.
答案　D
二、填空题
6.已知点O(0，0)，A(1，2)，动点P满足|＋|＝2，则点P的轨迹方程为 .
解析　设点P的坐标为(x，y)，则＝(x，y)，＝(x－1，y－2)，＋＝(2x－1，2y－2)，所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理可得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.
答案　4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0
7.直线＋＝1与x，y轴交点的连线的中点的轨迹方程是 .
解析　设直线＋＝1与x，y轴的交点分别为A(a，0)，B(0，2－a)，AB中点为M(x，y)，则x＝，y＝1－，消去a，得x＋y＝1，因为a≠0，a≠2，所以x≠0，x≠1.
答案　x＋y＝1(x≠0，x≠1)
8.在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，则顶点A的轨迹方程为 .
解析　以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.
则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，
|AE|＝|AF|.
∴|AB|－|AC|＝2＜|BC|＝4，
∴点A的轨迹是以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，
∴轨迹方程为－＝1(x＞).
答案　－＝1(x＞)
三、解答题
9.如图所示，动圆C1：x2＋y2＝t2，1