2019届二轮复习第三讲不等式学案（全国通用）

第三讲　不等式、线性规划


考点一　不等式的解法
求解不等式的方法
(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．
(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．
[对点训练]
1．(2018·湖南衡阳一模)若a，b，c为实数，且a0，即>，故选项B不正确；∵af(x)，则实数x的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C．(－1,2) D．(－2,1)
[解析]　易知f(x)在R上是增函数，∵f(2－x2)>f(x)，∴2－x2>x，解得－20，y>0，x＋4y＝(x＋4y)＝≥(5＋4)＝，当且仅当＝时等号成立，即x＋4y的最小值为.故选C．
[答案]　C
3．(2018·海淀期末)已知正实数a，b满足a＋b＝4，则＋的最小值为________．
[解析]　∵a＋b＝4，∴a＋1＋b＋3＝8，∴＋＝[(a＋1)＋(b＋3)]＝≥(2＋2)＝，当且仅当a＋1＝b＋3，即a＝3，b＝1时取等号，∴＋的最小值为.
[答案]　
4．(2018·河南洛阳一模)若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为________．
[解析]　依题意知a>0，b>0，则＋≥2＝，当且仅当＝，即b＝2a时，“＝”成立．因为＋＝，所以≥，即ab≥2，所以ab的最小值为2.
[答案]　2
[快速审题]　看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．



　利用基本不等式求函数最值的3个关注点
(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．
(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax＋(ab>0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．
考点三　线性规划问题
1．线性目标函数z＝ax＋by最值的确定方法
把线性目标函数z＝ax＋by化为y＝－x＋，可知是直线ax＋by＝z在y轴上的截距，要根据b的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．
2．常见的目标函数类型
(1)截距型：形如z＝ax＋by，可以转化为y＝－x＋，利用直线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值；
(2)斜率型：形如z＝，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率；
(3)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；形如z＝|Ax＋By＋C|，表示区域内的动点(x，y)到直线Ax＋By＋C＝0的距离的倍．
[对点训练]
1．(2018·天津卷)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A．6 B．19
C．21 D．45

[解析]　由变量x，y满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．
作出初始直线l0：3x＋5y＝0，平移直线l0，当直线经过点A(2,3)时，z取最大值，即zmax＝3×2＋5×3＝21，故选C．
[答案]　C
2．(2018·广东肇庆二模)已知实数x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为3，则实数b＝(　　)
A． B．
C．1 D．

[解析]　作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示．
由z＝2x＋y得y＝－2x＋z，
平移初始直线y＝－2x，
由图可知当直线y＝－2x＋z经过点A时，直线y＝－2x＋z的纵截距最小，此时z最小，为3，
即2x＋y＝3.
由解得即A，
又点A也在直线y＝－x＋b上，即＝－＋b，∴b＝.故选A．
[答案]　A
3．(2018·江西九江二模)实数x，y满足线性约束条件若z＝的最大值为1，则z的最小值为(　　)
A．－ B．－
C． D．－

[解析]　作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z＝的几何意义是可行域内的点(x，y)与点A(－3,1)两点连线的斜率，当取点B(a,2a＋2)时，z取得最大值1，故＝1，解得a＝2，则C(2,0)．当取点C(2,0)时，z取得最小值，即zmin＝＝－.故选D．
[答案]　D
4．设x，y满足约束条件则z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是________．
[解析]　

由解得即C.
(x＋1)2＋y2的几何意义是区域内的点(x，y)与定点(－1，0)间距离的平方．
由图可知，点(－1,0)到直线AB：2x＋y＋1＝0的距离最小，为＝，故zmin＝；点(－1,0)到点C的距离最大，故zmax＝2＋2＝.所以z＝(x＋1)2＋y2的取值范围是.
[答案]　
[快速审题]　(1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．
(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如z＝(x－a)2＋(y－b)2和形如z＝，想到其几何意义．
(3)看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．



　求目标函数的最值问题的3步骤
(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；
(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；
(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值．

1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A＝{x|x2－4x＋30}，则A∩B＝(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　∵x2－4x＋3