2019届二轮复习第十一章第7节　离散型随机变量及其分布列学案（全国通用）

第7节　离散型随机变量及其分布列
最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单应用.

知 识 梳 理
1.离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
称为离散型随机变量X的概率分布列.
(2)离散型随机变量的分布列的性质：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
3.常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为
X
0
1
P
1－p
p
，其中p＝P(X＝1)称为成功概率.
(2)超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N ，称随机变量X服从超几何分布.
X
0
1
…
m
P


…


[常用结论与微点提醒]
1.求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率.
2.要会根据分布列的两个性质来检验求得的分布列的正误.
3.超几何分布是一种常见的离散型随机变量的概率分布模型，要会根据问题特征去判断随机变量是否服从超几何分布，然后利用相关公式进行计算.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(　　)
(2)对于某个试验，离散型随机变量的取值可能有明确的意义，也可能不具有实际意义.(　　)
(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，
X
2
5
P
0.3
0.7
则它服从两点分布.(　　)
(4)一个盒中装有4个黑球、3个白球，从中任取一球，若是白球则取出来，若是黑球则放回盒中，直到把白球全部取出来，设取到黑球的次数为X，则X服从超几何分布.(　　)
解析　对于(1)，离散型随机变量所有取值的并事件是必然事件，故各个概率之和等于1，故(1)不正确；对于(2)，因为离散型随机变量的所有结果都可用数值表示，其中每一个数值都有明确的实际的意义，故(2)不正确；对于(3)，X的取值不是0和1，故不是两点分布，(3)不正确；对于(4)，因为超几何分布是不放回抽样，所以试验中取到黑球的次数X不服从超几何分布，(4)不正确.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.袋中有3个白球、5个黑球，从中任取两个，可以作为随机变量的是(　　)
A.至少取到1个白球 B.至多取到1个白球
C.取到白球的个数 D.取到的球的个数
解析　选项A，B表述的都是随机事件，选项D是确定的值2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0，1，2.
答案　C
3.(选修2－3P49A4改编)设随机变量X的分布列如下：
X
1
2
3
4
5
P




p
则p为(　　)
A. B. C. D.
解析　由分布列的性质，＋＋＋＋p＝1，
∴p＝1－＝.
答案　C
4.一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为(　　)
A. B. C. D.
解析　{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝.
答案　C
5.设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)＝ .
解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，
且P(X＝1)＝2P(X＝0)，由P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，
得P(X＝0)＝.
答案　

考点一　离散型随机变量分布列的性质
【例1】 设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
(1)求η＝|X－1|的分布列；
(2)求P(1