2019届二轮复习第十一章第9节　离散型随机变量的均值与方差学案（全国通用）

第9节　离散型随机变量的均值与方差
最新考纲　1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念；2.能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单实际问题.

知 识 梳 理
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根为随机变量X的标准差.
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b为常数).
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.(　　)
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.(　　)
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小.(　　)
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况，因此它们是一回事.(　　)
解析　均值即期望值刻画了离散型随机变量取值的平均水平，而方差刻画了离散型随机变量的取值偏离期望值的平均程度，因此它们不是一回事，故(1)(4)均不正确.
答案　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×
2.已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P



则X的数学期望E(X)＝(　　)
A. B.2 C. D.3
解析　由数学期望公式可得E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
答案　A
3.(选修2－3P68A1改编)已知X的分布列为
X
－1
0
1
P



设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为(　　)
A. B.4 C.－1 D.1
解析　E(X)＝－＋＝－，
E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－＋3＝.
答案　A
4.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝2，4，6，8，10)，则D(X)等于(　　)
A.5 B.8 C.10 D.16
解析　因为E(X)＝(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
所以D(X)＝[(－4)2＋(－2)2＋02＋22＋42]＝8.
答案　B
5.(2018·北京海淀区月考)如果随机变量X B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，则p＝ .
解析　因为随机变量X B(n，p)，且E(X)＝7，D(X)＝6，
所以解得p＝.
答案　

考点一　离散型随机变量的均值与方差
【例1】 (2018·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为，；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为，；两人滑雪时间都不会超过3小时.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E(ξ)，方差D(ξ).
解　(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0，40，80元，
两人都付0元的概率为P1＝×＝，
两人都付40元的概率为P2＝×＝，
两人都付80元的概率为
P3＝×＝×＝，
则两人所付费用相同的概率为P＝P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0，40，80，120，160，则：
P(ξ＝0)＝×＝；
P(ξ＝40)＝×＋×＝；
P(ξ＝80)＝×＋×＋×＝；
P(ξ＝120)＝×＋×＝；
P(ξ＝160)＝×＝.
ξ的分布列为
ξ
0
40
80
120
160
P





E(ξ)＝0×＋40×＋80×＋120×＋160×＝80.
D(ξ)＝(0－80)2×＋(40－80)2×＋(80－80)2×＋(120－80)2×＋(160－80)2×＝.
规律方法　(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差公式进行计算.
(2)注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用.
【训练1】 (2018·蚌埠二模)赌博有陷阱.某种赌博游戏每局的规则是：参与者从标有5，6，7，8，9的小球中随机摸取一个(除数字不同外，其余均相同)，将小球上的数字作为其赌金(单位：元)，然后放回该小球，再随机摸取两个小球，将两个小球上数字之差的绝对值的2倍作为其奖金(单位：元).若随机变量X和Y分别表示参与者在每一局赌博游戏中的赎金与奖金，则E(X)－E(Y)＝ 元.
解析　根据题意可得P(X＝k)＝(k＝5，6，7，8，9)，
可得E(X)＝×(5＋6＋7＋8＋9)＝7(元).
Y的取值可能为2，4，6，8，其中
P(Y＝2)＝＝，
P(Y＝4)＝＝，
P(Y＝6)＝＝，
P(Y＝8)＝＝，
所以E(Y)＝2×＋4×＋6×＋8×＝4(元).
故E(X)－E(Y)＝7－4＝3(元).
答案　3
考点二　与二项分布有关的均值与方差
【例2】 一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列、数学期望E(X)及方差D(X).
解　(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”，因此
P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，
P(A2)＝0.003×50＝0.15，
P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.
(2)X可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为
P(X＝0)＝C·(1－0.6)3＝0.064，
P(X＝1)＝C·0.6(1－0.6)2＝0.288，
P(X＝2)＝C·0.62(1－0.6)＝0.432，
P(X＝3)＝C·0.63＝0.216.
分布列为
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216
因为X B(3，0.6)，所以数学期望E(X)＝3×0.6＝1.8，
方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.
规律方法　二项分布的期望与方差.
(1)如果ξ B(n，p)，则用公式E(ξ)＝np；D(ξ)＝np(1－p)求解，可大大减少计算量.
(2)有些随机变量虽不服从二项分布，但与之具有线性关系的另一随机变量服从二项分布，这时，可以综合应用E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b以及E(ξ)＝np求出E(aξ＋b)，同样还可求出D(aξ＋b).
【训练2】 (2018·长沙调研)为了解一种植物果实的情况，随机抽取一批该植物果实样本测量重量(单位：克)，按照[27.5，32.5)，[32.5，37.5)，[37.5，42.5)，[42.5，47.5)，[47.5，52.5]分为5组，其频率分布直方图如图所示.

(1)求图中a的值；
(2)估计这种植物果实重量的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)已知这种植物果实重量不低于32.5克的即为优质果实，用样本估计总体.若从这种植物果实中随机抽取3个，其中优质果实的个数为X，求X的分布列和数学期望E(X).
解　(1)组距d＝5，由5×(0.02＋0.04＋0.075＋a＋0.015)＝1得a＝0.05.
(2)各组中点值和相应的频率依次为
中点值
30
35
40
45
50
频率
0.1
0.2
0.375
0.25
0.075
＝30×0.1＋35×0.2＋40×0.375＋45×0.25＋50×0.075＝40，
s2＝(－10)2×0.1＋(－5)2×0.2＋02×0.375＋52×0.25＋102×0.075＝28.75.
(3)由已知，这种植物果实的优质率p＝0.9，且X B(3，0.9)，
故其分布列为P(X＝k)＝C·0.9k·(1－0.9)3－k(k＝0，1，2，3)，
X的分布列为
X
0
1
2
3
P
0.001
0.027
0.243
0.729
∴E(X)＝np＝2.7.
考点三　离散型随机变量的均值、方差
(多维探究)
命题角度1　求实际问题的分布列与期望
【例3－1】 (2017·天津卷)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，.
(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；
(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率.
解　(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝2)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝.
所以，随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P




随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数， 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
P(Y＋ ＝1)＝P(Y＝0， ＝1)＋P(Y＝1， ＝0)
＝P(Y＝0)P( ＝1)＋P(Y＝1)P( ＝0)
＝×＋×＝.
所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.
命题角度2　均值与方差的应用问题
【例3－2】 某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30 ，也可能亏损15 ，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50 ，可能损失30 ，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，和.
针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.
解　若按“项目一”投资，设获利为X1万元.则X1的分布列为
X1
300
－150
P


∴E(X1)＝300×＋(－150)×＝200(万元).
若按“项目二”投资，设获利X2万元，
则X2的分布列为：
X2
500
－300
0
P



∴E(X2)＝500×＋(－300)×＋0×＝200(万元).
D(X1)＝(300－200)2×＋(－150－200)2×＝35 000，
D(X2)＝(500－200)2×＋(－300－200)2×＋(0－200)2×＝140 000.
所以E(X1)＝E(X2)，D(X1)，则p的取值范围是 .
解析　由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，
P(Y＝3)＝(1－p)2，
则E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，
解得p>或p