2019届二轮复习第十章第3节　变量间的相关关系与统计案例学案（全国通用）

第3节　变量间的相关关系与统计案例
最新考纲　1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.

知 识 梳 理
1.相关关系与回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.
2.线性回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程为＝x＋，则其中，是回归方程的斜率，是在y轴上的截距.
回归直线一定过样本点的中心(，).
3.回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(，)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r0，则正相关；r0时，正相关；R；
③x，y之间不能建立线性回归方程.
解析　(1)从统计图表中看出，月收入的中位数是(15＋17)＝16，收入增加，则支出也增加，x与y正线性相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x，y是负相关关系，故①正确；由散点图知用y＝c1ec2x拟合比用＝x＋拟合效果要好，则R>R，故②正确；x，y之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误.
答案　(1)C　(2)①②
考点二　线性回归方程及应用
【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润 (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.



(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)?
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润 与x，y的关系为 ＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

解　(1)由散点图可以判断，y＝c＋d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w＝，先建立y关于w的线性回归方程，由于

所以y关于w的线性回归方程为＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
＝100.6＋68＝576.6，
年利润 的预报值＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润 的预报值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以当＝＝6.8，即x＝46.24时，取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
规律方法　1.(1)正确理解计算，的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.
(2)回归直线方程＝x＋必过样本点中心(，).
2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
(2)本例中y与x不具有线性相关，先作变换，转化为y与w具有线性相关，求出y关于w的线性回归方程，然后进一步求解.
【训练2】 (2018·日照调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
年份x
2013
2014
2015
2016
2017
储蓄存款y(千亿元)
5
6
7
8
10
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t＝x－2 012， ＝y－5得到下表2：
时间代号t
1
2
3
4
5

0
1
2
3
5
表2
(1)求 关于t的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y关于x的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？


＝＝1.2，
＝ －＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以＝1.2t－1.4.
(2)将t＝x－2 012， ＝y－5，代入＝1.2t－1.4，
得y－5＝1.2(x－2 012)－1.4，即＝1.2x－2 410.8.
(3)因为＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元.
考点三　独立性检验
【例3】 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4 500人.为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集了300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时).
(1)应收集多少位女生的样本数据？
(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率；

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
附：K2＝
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解　(1)利用分层抽样，300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据.
(2)由频率分布直方图得1－2×(0.100＋0.025)＝0.75.所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.
(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时.
又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

男生
女生
总计
每周平均体育运动时间不超过4小时
45
30
75
每周平均体育运动时间超过4小时
165
60
225
总计
210
90
300
将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2的观测值
k＝＝≈4.762＞3.841.
所以，有95 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”.
规律方法　1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表：
(2)根据公式K2＝计算K2的观测值k；
(3)比较观测值k与临界值的大小关系，作统计推断.
【训练3】 (2018·合肥质检)某校在高一年级学生中，对自然 学类、社会 学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会 学类的男生、女生均为45名.
(1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？
(2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为 类的选择与性别有关？

选择自然 学类
选择社会 学类
合计
男生



女生



合计



附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
P(K2≥k0)
0.500
0.400
0.250
0.150
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解　(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为＝.
(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：

选择自然 学类
选择社会 学类
合计
男生
60
45
105
女生
30
45
75
合计
90
90
180
则K2的观测值为k＝＝≈5.142 9>5.024，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为 类的选择与性别有关.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是(　　)
A.有95 的把握认为“X和Y有关系”
B.有95 的把握认为“X和Y没有关系”
C.有99 的把握认为“X和Y有关系”
D.有99 的把握认为“X和Y没有关系”
解析　依题意K2的观测值为k＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95 的把握认为“X和Y有关系”.
答案　A
2.(2018·石家庄模拟)下列说法错误的是(　　)
A.回归直线过样本点的中心(，).
B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C.对分类变量X与Y，随机变量K2的观测值k越大，则判断“X与Y有关系”的把握程度越小
D.在回归直线方程＝0.2x＋0.8中，当解释变量x每增加1个单位时，预报变量平均增加0.2个单位
解析　根据相关定义分析知A，B，D正确，C中对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，故C错误.
答案　C
3.(2017·汉中模拟)已知两个随机变量x，y之间的相关关系如表所示：
x
－4
－2
1
2
4
y
－5
－3
－1
－0.5
1
根据上述数据得到的回归方程为＝x＋，则大致可以判断(　　)
A.>0，>0 B.>0，5.024.
又P(K2≥5.024)＝0.025.
故有97.5 的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.
10.(2018·惠州模拟)某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下表：
超市
A
B
C
D
E
F
G
广告费支出xi
1
2
4
6
11
13
19
销售额yi
19
32
40
44
52
53
54
(1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求y与x的线性回归方程；
(2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系，可得回归方程：＝－0.17x2＋5x＋20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75，请用R2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额.


∴＝－x＝42－1.7×8＝28.4，
故y关于x的线性回归方程是＝1.7x＋28.4.
(2)∵0.753.841.
由统计表P(K2≥3.841)＝0.05，∴有95 的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.
答案　A
12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
价格x
9
9.5
m
10.5
11
销售量y
11
n
8
6
5
由散点图可知，销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程是＝－3.2x＋40，且m＋n＝20，则其中的n＝ .
解析　＝＝8＋，
＝＝6＋.
回归直线一定经过样本中心(，)，
即6＋＝－3.2＋40，即3.2m＋n＝42.
又因为m＋n＝20，即
解得故n＝10.
答案　10
13.(2018·湖南百所重点中学阶段性诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：

(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？
(2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.
月份
1
2
3
4
利润y(单位：百万元)
4
4
6
6

解　(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.
(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，
第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元).
第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)，
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.
(3)∵＝2.5，＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54，
∴＝＝0.8，∴＝5－2.5×0.8＝3.
因此线性回归方程为＝0.8x＋3.
当x＝8时，＝0.8×8＋3＝9.4.
∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元.