2019届二轮复习第一讲　直线与圆学案（全国通用）

专题六　解析几何
第一讲　直线与圆



考点一　直线的方程
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离公式d＝.
[对点训练]
1．(2018·东北三校联考)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是(　　)
A．2x＋y－12＝0
B．2x＋y－12＝0或2x－5y＝0
C．x－2y－1＝0
D．x－2y－1＝0或2x－5y＝0
[解析]　当直线过原点时，由题意可得直线方程为2x－5y＝0；当直线不经过原点时，可设出其截距式为＋＝1，再由过点(5,2)即可解出2x＋y－12＝0，故选B.
[答案]　B
2．直线l过点(2,2)，且点(5,1)到直线l的距离为，则直线l的方程是(　　)
A．3x＋y＋4＝0 B．3x－y＋4＝0
C．3x－y－4＝0 D．x－3y－4＝0
[解析]　由已知，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即kx－y＋2－2k＝0，所以＝，解得k＝3，所以直线l的方程为3x－y－4＝0，故选C.
[答案]　C
3．(2018·湖北孝感五校联考)已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4,2)，(3,1)，则点C的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－2，－4)
C．(2,4) D．(2，－4)
[解析]　设A(－4,2)关于直线y＝2x的对称点为A′(x，y)，则解得即A′(4，－2)，∴直线A′C即BC所在直线的方程为y－1＝(x－3)，即3x＋y－10＝0.又知点C在直线y＝2x上，联立解得则C(2,4)，故选C.
[答案]　C
4．(2018·湖南东部十校联考)经过两条直线2x＋3y＋1＝0和x－3y＋4＝0的交点，并且垂直于直线3x＋4y－7＝0的直线方程为________________________．
[解析]　解法一：由方程组解得
即交点为，
∵所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
∴所求直线的斜率为k＝.
由点斜式得所求直线方程为y－＝，
即4x－3y＋9＝0.
解法二：由垂直关系可设所求直线方程为4x－3y＋m＝0，
由方程组可解得交点为，
代入4x－3y＋m＝0得m＝9，
故所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
解法三：由题意可设所求直线的方程为(2x＋3y＋1)＋λ(x－3y＋4)＝0，
即(2＋λ)x＋(3－3λ)y＋1＋4λ＝0，①
又因为所求直线与直线3x＋4y－7＝0垂直，
所以3(2＋λ)＋4(3－3λ)＝0
所以λ＝2，代入①式得所求直线方程为4x－3y＋9＝0.
[答案]　4x－3y＋9＝0
[快速审题]　看到直线方程的求解，想到直线方程的五种形式，想到每种形式的适用条件．



　求直线方程的两种方法
(1)直接法：选用恰当的直线方程的形式，由题设条件直接求出方程中系数，写出结果．
(2)待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有待定系数，再由题设条件构建方程，求出待定系数．
考点二　圆的方程
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以为圆心，为半径的圆．
[对点训练]
1．(2018·福建漳州模拟)圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y－2)2＝1
C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝1
[解析]　∵点P(x，y)关于直线y＝x对称的点为P′(y，x)，
∴(1,2)关于直线y＝x对称的点为(2,1)，
∴圆(x－1)2＋(y－2)2＝1关于直线y＝x对称的圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选A.
[答案]　A
2．(2018·广东珠海四校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
[解析]　由题意设圆心坐标为(a，－a)，则有＝，即|a|＝|a－2|，解得a＝1.故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故选B.
[答案]　B
3．(2018·重庆一模)若P(2,1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程为(　　)
A．x－y－1＝0 B．2x－y－3＝0
C．x＋y－3＝0 D．2x＋y－5＝0
[解析]　圆心C的坐标为(1,0)，所以直线PC的斜率为kPC＝＝1，所以直线AB的斜率为－1，故直线AB的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，故选C.
[答案]　C
4．[原创题]在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为_________________________________．
[解析]　解法一：由题意得：半径等于＝＝≤ ≤，当且仅当m＝1时取等号，所以半径最大为r＝，所求圆为(x－1)2＋y2＝2.
解法二：直线mx－y－2m－1＝0过定点(2，－1)，当切点为(2，－1)时圆的半径最大，此时半径r＝＝，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
[答案]　(x－1)2＋y2＝2
[快速审题]　看到圆的方程，想到圆心与半径，看到含参数的直线方程，想到直线是否过定点．

　求圆的方程的两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，从而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数，从而求得圆的方程，一般采用待定系数法．
考点三　直线与圆、圆与圆的位置关系
1．判断直线与圆的位置关系的方法
(1)代数法：将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系：Δ>0⇔相交；Δ＝0⇔相切；Δ