2019届二轮复习二项分布及其应用学案（全国通用）

【考纲解读】

【知识清单】

1. 二项分布

1．条件概率及其性质

(1)对于任何两个事件和，在已知事件发生的条件下，事件发生的概率叫做条件概率，用符号来表示，其公式为.

在古典概型中，若用表示事件中基本事件的个数，则.

(2)条件概率具有的性质：

①；

② 如果和是两互斥事件，则．

2．相互独立事件

(1)对于事件、，若的发生与的发生互不影响，则称、是相互独立事件．

(2)若与相互独立，则，

．

(3)若与相互独立，则与，与，与也都相互独立．

(4)若，则与相互独立．

3．独立重复试验与二项分布

(1)独立重复试验

独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．

(2)二项分布

在次独立重复试验中，设事件发生的次数为，在每次试验中事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件恰好发生次的概率为 ()，此时称随机变量服从二项分布，记作，并称为成功概率．

【重点难点突破】

考点   二项分布及应用

【1-1】已知随机变量服从二项分布，则等于（    ）

A.     B.     C.     D.

【答案】C

【解析】由二项分布可知 ，选C.

【1-2】已知在一次试验中，，那么在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率是      

A．           B．        C．       D．

【答案】A ]

【解析】因为，所以在次独立重复试验中，事件恰好在前两次发生的概率．

【1-3】设服从二项分布的随机变量X的期望和方差分别是2.4和1.44，则二项分布的参数的值为（   ）

A．    B．    C．    D．

【答案】B

【解析】由二项分布的期望和方差得，解的

【1-4】【2018年全国卷Ⅲ理】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则

A. 0.7    B. 0.6    C. 0.4    D. 0.3

【答案】B

【1-5】【浙江省宁波市北仑中学】在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题，乙能正确完成每道题的概率为，且每道题完成与否互不影响.

⑴记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，则X的分布列为            ；

⑵记乙能答对的题数为Y，则Y的期望为         ．

【答案】 

【解析】（1）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题；

甲能正确完成其中的4题，所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，

由题意得X的可能取值为1，2，3，

∴X的分布列为：

（2）主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题，乙能正确完

【领悟技法】

1. 条件概率的求法

(1)定义法：先求和，再由，求；  

(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件包含的基本事件数，再求事件所包含的基本事件数，得.

2. 求相互独立事件同时发生的概率的方法

(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；

(2)正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解．

3. 二项分布满足的条件

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．

(2)各次试验中的事件是相互独立的．

(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．

(4)随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．

4.二项展开式的通项与二项分布的概率公式的“巧合”

一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即与，每次试验中.我们将这样的试验称为次独立重复试验，也称为伯努利试验．在次独立重复试验中，每次试验事件发生的概率均为，即，.由于试验的独立性，次试验中，事件在某指定的次发生，而在其余次不发生的概率为.而在次试验中，事件恰好发生次的概率为，.它恰好是的二项展开式中的第项．

5. 牢记且理解事件中常见词语的含义：

(1) 、中至少有一个发生的事件为；

(2) 、都发生的事件为；

(3) 、都不发生的事件为；

(4) 、恰有一个发生的事件为；

(5) 、至多一个发生的事件为.

【触类旁通】

【变式一】【2017课标II，理13】一批产品的二等品率为，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件数，则          .

【答案】

【变式二】【2015高考湖北，理20】某厂用鲜牛奶在某台设备上生产两种奶制品．生产1吨产品需鲜牛奶2吨，使用设备1小时，获利1000元；生产1吨产品需鲜牛奶1.5吨，使用设备1.5小时，获利1200元．要求每天产品的产量不超过产品产量的2倍，设备每天生产两种产品时间之和不超过12小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为

该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利（单位：元）是一个随机变量．

（Ⅰ）求的分布列和均值；

（Ⅱ） 若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求3天中至少有1天的最大获利超过10000元的概率．

故最大获利的分布列为

因此，                 

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，一天最大获利超过10000元的概率，

由二项分布，3天中至少有1天最大获利超过10000元的概率为   学  ]

【易错试题常警惕】

易错典例：某气象站天气预报的准确率为80 ，计算(结果保留到小数点后面第2位)

(1)5次预报中恰有2次准确的概率；

(2)5次预报中至少有2次准确的概率；

(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．

易错分析：解本题容易出错的地方，一是对“恰有2次”、“至少有2次”理解错误，误用二项分布；二是对随机事件“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的意义理解错误，不能把问题归结为只要在第1,2,4,5次预报中预报1次准确即可，出现仍然用5次独立重复试验二项分布模型解决问题的错误．

温馨提醒： 二项分布是高中概率中最重要的概率分布模型，是近年高考非常重要的一个考点.二项分布概率模型的特点是“独立性”和“重复性”，事件的发生都是独立的、相互之间没有影响，事件又在相同的条件之下重复发生.但在试题中，有的问题是局部的二项分布概率模型问题，解题时要注意这种特殊情况. 要记住二项分布概率模型的特点，在解题时把符合这种特点的概率问题归结到二项分布模型上面，直接根据二项分布概率模型的公式解决.   

【学 素养提升之思想方法篇】

对立统一，峰回路转——正难则反

正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果.

具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.

【典例】【2018届江西师范大学附属中学三模】某地十万余考生的成绩近似地服从正态分布，从中随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组，第二组，第六组，作出频率分布直方图，如图所示：

（1）用每组区间的中点值代表该组的数据，估算这批考生的平均成绩和标准差（精确到个位）；

（2）以这批考生成绩的平均值和标准差作为正态分布的均值和标准差，设成绩超过93分的为“优”，现在从总体中随机抽取50名考生，记其中“优”的人数为，是估算的数学期望．

【答案】（1），；（2）