2019届二轮复习高考解答题突破(六)　概率与统计学案（全国通用）

高考解答题突破(六)　概率与统计

突破“两辨”——辨析、辨型

[思维流程]

[技法点拨]

概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件、独立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．

考向一　离散型随机变量的均值与方差

在解决离散型随机变量的均值与方差的问题时，要善于将复杂事件分解为较简单事件，对照相关概率类型，如互斥事件类型、相互独立事件类型、古典概型等，然后用相关公式求解．

[解]　(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于8吨的频率为2×(0.125＋0.075)＝0.4，记未来3天内，第i天日销售量不低于8吨为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(Ai)＝0.4，

＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192.

(2)由(1)知，第i天日销售量不低于8吨的概率P(Ai)＝0.4.

依题意，X的可能取值为0,1,2,3，

解决离散型随机变量的均值与方差的关键

(1)会判断，先判断事件的类型，再利用对立事件的概率公式、条件概率的公式等求解概率；

(2)会计算，要求随机变量X的期望，需先求出X的所有可能取值，然后求出随机变量X取每个值时的概率，再利用随机变量的数学期望的定义进行计算．

[对点训练]

1．(2018·山东潍坊一模)某公司新上一条生产线，为保证新的生产线正常工作，需对该生产线进行检测．现从该生产

线上随机抽取100件产品，测量产品数据，用统计方法得到样本的平均数μ＝14，标准差σ＝2，绘制如图所示的频率分布直方图．以频率值作为概率估计值．

(1)从该生产线加工的产品中任意抽取一件，记其数据为X，依据以下不等式评判(P表示对应事件的概率)：

①P(μ－σ<X<μ＋σ)≥0.6826；

②P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≥0.9544；

③P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≥0.9974，

评判规则：若至少满足以上两个不等式，则生产状况为优，无需检修；否则需检修生产线，试判断该生产线是否需要检修；

(2)将数据不在(μ－2σ，μ＋2σ)内的产品视为次品，从该生产线加工的产品中任意抽取2件，次品数记为Y，求Y的分布列与数学期望E(Y)．

[解]　(1)由频率分布直方图可得：

P(12<X<16)＝(0.29＋0.11)×2＝0.8>0.6826

P(10<X<18)＝(0.04＋0.29＋0.11＋0.03)×2＝0.94<0.9544

P(8<X<20)＝(0.005＋0.04＋0.29＋0.11＋0.03＋0.015)×2＝0.98<0.9974

∴符合①，不符合②③，故该生产线需要检修．

(2)100件产品中，次品个数为100×(1－0.94)＝6，正品个数为94，

∴Y的所有可能取值为0,1,2，

其中P(Y＝0)＝＝，P(Y＝1)＝＝，P(Y＝2)＝＝.

∴Y的分布列为

∴Y的数学期望为E(Y)＝0×＋1×＋2×＝.

考向二　线性回归分析与独立性检验

1．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

2．独立性检验的关键是根据2×2列联表准确计算出K2，再做判断．

[解题指导]　→→→

[解]　(1)记“至少有一个大于600”为事件A，

则P(A)＝1－＝.

＝＝600.

∴＝

＝＝0.3，

＝－＝600－0.3×556＝433.2，

故特征量x为570时，特征量y的估计值为604.2.

线性回归分析与独立性检验问题的关注点

(1)由回归方程分析得出的数据只是预测值不是精确值，此类问题的易错点是方程中的计算，代入公式计算要细心．

(2)独立性检验是指利用2×2列联表，通过计算随机变量K2来确定在多大程度上两个分类变量有关系的方法．

[对点训练]

2．(2018·山西太原模拟)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分钟)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”．

(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关？

(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．

附：K2＝.

[解]　(1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，

则“课外体育不达标”人数为150，

∴列联表如下：

∴K2＝＝≈6.061<6.635.

∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关．

(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：ξ的所有可能取值为1,2,3，

P(ξ＝1)＝＝＝；

P(ξ＝2)＝＝＝；

P(ξ＝3)＝＝＝.

故ξ的分布列为

故ξ的数学期望为E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

专题跟踪训练(三十一)

1．(2018·东北四校联考)一个袋中有大小、质地完全相同的4个红球和1个白球，共5个球，现从中每次随机取出2个球，若取出的有白球必须把白球放回去，红球不放回，然后取第二次，第三次，……，直到把红球取完只剩下1个白球为止．用ξ表示终止时取球的次数．

(1)求ξ＝2的概率；

(2)求ξ的分布列及数学期望．

[解]　(1)∵随机变量ξ＝2表示从袋中随机取球2次且每次取的都是红球，∴P(ξ＝2)＝×＝，即ξ＝2的概率为.

(2)由题意知随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4，由(1)知P(ξ＝2)＝.又P(ξ＝4)＝×××＝，

∴P(ξ＝3)＝＝，

∴ξ的分布列为

E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.

2．(2018·北京卷)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：

好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．

(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；

(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；

(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k＝1,2,3,4,5,6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．

[解]　(1)由题意知，样本电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000，

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.

故所求概率是＝0.025.

(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，

事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．

故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．

由题意知：P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.

故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.

(3)D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)＝D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6)．

3．(2018·广州测试)某单位共10名员工，他们某年的收入如下表：

(1)求该单位员工当年年薪的平均值和中位数；

(2)从该单位中任取2人，此2人中年薪收入高于5万的人数记为ξ，求ξ的分布列和期望；

(3)已知员工年薪收入与工作年限成正线性相关关系，若某员工工作第一年至第四年的年薪分别为3万元，4.2万元，5.6万元，7.2万元，预测该员工第五年的年薪为多少？

附：线性回归方程＝x＋中系数计算公式＝，＝－，其中，表示样本均值．

[解]　(1)平均值为10万元，中位数为6万元．

(2)年薪高于5万的有6人，低于或等于5万的有4人，ξ取值为0,1,2.

P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，

所以ξ的分布列为

数学期望为E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.

(3)设xi，yi(i＝1,2,3,4)分别表示工作年限及相应年薪，则＝2.5，＝5

 (xi－)2＝2.25＋0.25＋0.25＋2.25＝5，

 (xi－)(yi－)＝－1.5×(－2)＋(－0.5)×(－0.8)＋0.5×0.6＋1.5×2.2＝7，

＝＝＝1.4.

＝－＝5－1.4×2.5＝1.5，

因此线性回归方程为＝1.4x＋1.5，

可预测该员工第5年的年薪收入约为8.5万元．

4．已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关．为了确定某一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x(单位：℃)对某种鸡的时段产蛋量y(单位：t)和时段投入成本z(单位：万元)的影响．为此，该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度xi和产蛋量yi(i＝1,2，…7，)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．

其中ki＝lnyi，＝ki.

(1)根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝c1ec2x(e为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍的时段控制温度x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(2)根据(1)的判断及表中的数据，建立y关于x的回归方程；

(3)已知时段投入成本z与x，y的关系为z＝e－2.5y－0.1x＋10，当鸡舍的时段控制温度为28 ℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少？

附：对于一组具有线性相关关系的数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝βu＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为

＝，＝－.

参考数据：

[解]　(1)由题中散点图可以判断，y＝c1ec2x适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍的时段控制温度x的回归方程类型．

(2)令k＝lny，建立k关于x的线性回归方程k＝dx＋c(d＝c2，c＝lnc1)．由题意，得＝＝＝0.25，＝－＝3.60－0.25×17.40＝－0.75，

所以k关于x的线性回归方程为＝0.25x－0.75，c2＝0.25，c1＝e－0.75＝0.47，

故y关于x的回归方程为＝0.47e0.25x.

(3)由(2)知，当x＝28时，鸡的时段产蛋量y的预报值＝0.47e0.25×28＝0.47e7＝0.47×1096.63≈515.42(t)，

时段投入成本z的预报值＝e－2.5×515.42－0.1×28＋10＝0.08×515.42－2.8＋10≈48.43(万元)．