2019届二轮复习复数学案（全国通用）

第十四讲 复数一、知识要点复数的三角形式 ①定义：复数表示成的形式叫复数的三角形式。其中，，为辐角，若，则称为辐角主值。   ② 非零复数辐角的多值性：    如右图，以轴正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫复数的辐角。因此，复数的辐角是 ③ 辐角主值：    表示法：用表示复数的辐角主值。    定  义：当时，叫辐角主值，即 。    唯一性：复数的辐角主值是确定的，唯一的。 ④不等于零的复数的模是唯一的。 ⑤时，其辐角是任意的。  复数三角形式的运算复数三角形式的运算其实是辅角的三角运算。具体规则如下：①证明：     ②证明：    ③又若复数，则它的次方根是以下个复数：复数的几何意义（1）复数的向量表示在复平面内与复数、对应的点分别为、（如图） 向量，向量， 向量（2）常见几何图形的复数表达式：设复数已知，，则 ①线段的中垂线方程； ②以为圆心，半径为的圆的方程； ③以为焦点，长轴长为的椭圆方程； ④以为焦点，实轴长为的双曲线方程；欧拉公式: 小结： 复数的三种表示方法: 代数表示:   ，  三角表示:  ,  指数表示： ，  ( = ， )   二、典型例题例1.（五校2010选拔样题）已知是实数，，且当时，.则   （     ）                        B.C.                        D.解析：设 （，则所以，又，所以，即。选C. 例2.（交大2006保送推优）已知，是实数，是复数，求的最大值.解析：利用性质立即得. 例3.（同济2004自招）已知复平面上段A与点B非别对应复数2与，线段AB上的动点P对应复数，若复数对应点Q，点Q坐标为，则点Q的轨迹方程为          .解析：设，则.由P在线段AB上可得.又,消参可得, (. 例4(复旦2009自招),则在复平面内的轨迹为                      .解析:设,则所以复数对应的点满足:消去参数可得所以点P的轨迹是椭圆,其焦距.选A.例5(清华2006)求最小正整数,使得为纯虚数,并求出.解析:是纯虚数,因此,所求的最小值为3,此时.例6、(清华2009自招)求的模.解析:利用欧拉公式. 三、练习巩固A组:1.（11卓越）为虚数单位，设复数满足，则的最大值为（  C   ）（A）   （B）  （C）   （D）2.（11复旦）设有复数，令，则复数（   A  ）（A）    （B）   （C）    （D）3.（08复旦）在复平面上，满足方程的复数所对应的点构成的图形是（  A  ）（A）圆   （B）两个点   （C）线段   （D）直线4.（07复旦）已知，若，则的值是（   D  ）（A）  （B）  （C）  （D）5.（07复旦）复数在复平面上对应的点不可能位于（  A   ）（A）第一象限  （B）第二象限  （C）第三象限  （D）第四象限6.（07复旦）设为复平面上一定点，为复平面上的动点，其轨迹方程为，为复平面上另一个动点满足，则在复平面上的轨迹形状是（  B  ）（A）一条直线     （B）以为圆心，为半径的圆（C）焦距为的双曲线  （D）以上均不对7.（06复旦）设、为一对共轭复数，如果，且为实数，那么（   A  ）（A）   （B）2    （C）3    （D）8.（09复旦）复平面上点关于直线的对称点的复数表示是（  D  ）（A）   （B）   （C）   （D）9.（10复旦）已知复数，则复数的辐角是（  A   ）（A）   （B）   （C）   （D）10.（10复旦）设复数，满足，则（  C   ）（A）   （B）  （C）   （D）11.（10复旦）复平面上圆周的圆心是（  C  ）（A）   （B）   （C）   （D）  B组1.（06复旦）在实数范围内分解因式：                    。2.（08交大）复数，若存在负数使得，那么    。3.（06交大）是的非实数根，                。4.（05复旦）复数满足，则      2          。5.（05交大）若，且，则   19或25            。6.（04复旦）的非零解是                   。7.（03复旦）已知，则             。8.（09南大）为模大于1的复数，，则 。 9.（11华约）已知，，求。   10.（03复旦）已知，求的最小值。    11.（10五校），的实部为2，求虚部。