规范答题示范——函数与导数解答题

【典例】 (12分)(2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.

[信息提取]

看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导.

看到要证f(x)≤－－2成立，想到利用导数求函数的最大值.

[规范解答]

(1)解　f(x)的定义域(0，＋∞)，

f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.

……………………………………………………………………………………1分

若a≥0时，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，

故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

……………………………………………………………………………………2分

若a<0时，则当x∈时，f′(x)>0；

当x∈时，f′(x)<0.

故f(x)在上单调递增，在上单调递减.

……………………………………………………………………………………5分

(2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f ＝ln－1－，

所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0，

……………………………………………………………………………………8分

设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.

当x∈(0，1)时，g′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.

所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.

故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.

……………………………………………………………………………………10分

所以当x>0时，g(x)≤0，

从而当a<0时，ln＋＋1≤0，

即f(x)≤－－2.

……………………………………………………………………………………12分

[高考状元满分心得]

得步骤分：抓住得分点的步骤，“步步为赢”，求得满分.如第(1)问中，求导正确，分类讨论；第(2)问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.

得关键分：解题过程不可忽视关键点，有则给分，无则没分，如第(1)问中，求出f(x)的定义域，f′(x)在(0，＋∞)上单调性的判断；第(2)问，f(x)在x＝－处最值的判定，f(x)≤－－2等价转化为ln＋＋1≤0等.

得计算分：解题过程中计算准确是得满分的根本保证.如第(1)问中，求导f′(x)准确，否则全盘皆输，第(2)问中，准确计算f(x)在x＝－处的最大值.

[解题程序]

第一步：求函数f(x)的导函数f′(x)；

第二步：分类讨论f(x)的单调性；

第三步：利用单调性，求f(x)的最大值；

第四步：根据要证的不等式的结构特点，构造函数g(x)；

第五步：求g(x)的最大值，得出要证的不等式.

第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和解题规范.

【巩固提升】 已知函数f(x)＝x2－kln x－a，g(x)＝x2－x.

(1)当a＝0时，若g(x)<f(x)在区间(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围.

(2)是否存在常数k，使得函数f(x)和g(x)在区间(0，＋∞)上具有相同的单调性？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.

解　(1)当a＝0时，由g(x)<f(x)得kln x<x，

因为x>1，所以ln x>0，所以k<在(1，＋∞)上恒成立.

令t(x)＝(x>1)，则t′(x)＝，

由t′(x)＝0得x＝e，

当1<x<e时，t′(x)<0，t(x)在(1，e)上为减函数，

当x>e时，t′(x)>0，t(x)在(e，＋∞)上为增函数.

所以t(x)min＝t(e)＝e.

所以实数k的取值范围为(－∞，e).

(2)g(x)＝x2－x在上单调递减，在上单调递增.

函数f(x)＝x2－kln x－a，f′(x)＝，

当k≤0时，f′(x)>0恒成立，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，不合题意.

当k>0时，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去).

当x∈时，f′(x)<0，

当x∈时，f′(x)>0，

所以f(x)在上单调递减，在上单调递增.

要使f(x)与g(x)在(0，＋∞)上具有相同的单调性，需使＝，解得k＝.

所以存在常数k＝，使得函数f(x)与g(x)在(0，＋∞)上具有相同的单调性.