规范答题示范——解析几何解答题

【典例 】 (12分)(2017·全国Ⅱ卷)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

[信息提取]

看到求点P的轨迹方程，想到先设出点的坐标，然后利用已知条件，采用代入法求轨迹方程；

看到过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F，想到证明⊥.

[规范解答]

(1)解　设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，

………………………………………………………………………………1分

由＝得：x0＝x，y0＝y，

………………………………………………………………………………3分

因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，

因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.

………………………………………………………………………………5分

(2)证明　由题意知F(－1，0)，设Q(－3，t)，P(m，n)，

则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，

·＝3＋3m－tn，

………………………………………………………………………………7分

＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，

由·＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，

………………………………………………………………………………9分

又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.

所以·＝0，即⊥，

………………………………………………………………………………11分

又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.

………………………………………………………………………………12分

[高考状元满分心得]

写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分.

写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出·＝0，即⊥，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.

[解题程序]

第一步：设出点的坐标，表示向量，；

第二步：由＝2，确定点P，N坐标等量关系；

第三步：求点P的轨迹方程x2＋y2＝2；

第四步：由条件确定点P，Q坐标间的关系；

第五步：由·＝0，证明OQ⊥PF；

第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论.

【巩固提升】 (2018·郑州质检)已知椭圆C：＋y2＝1，点O是坐标原点，点P是椭圆C上任意一点，且点M满足＝λ(λ>1，λ是常数).当点P在椭圆C上运动时，点M形成的曲线为Cλ.

(1)求曲线Cλ的轨迹方程；

(2)直线l是椭圆C在点P处的切线，与曲线Cλ的交点为A，B两点，探究△OAB的面积是否为定值.若是，求△OAB的面积，若不是，请说明理由.

解　(1)设点M的坐标为(x，y)，对应的点P的坐标为.由于点P在椭圆C上，得＋＝1，

即曲线Cλ的轨迹是椭圆，标准方程为＋＝1(λ>1).

(2)当直线l的斜率不存在时，这时直线l的方程为x＝±2，

联立方程组解得y＝±，

得|AB|＝2.

得S△OAB＝|OP|×|AB|＝2，

当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，

联立方程组

得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0，

由Δ＝0，可得m2＝4k2＋1.联立方程组

得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4(m2－λ2)＝0.

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

则|AB|＝·

＝，

原点到直线l的距离为d＝＝，

所以S△OAB＝|AB|d＝2.

综上所述，△OAB的面积为定值2.