2019届二轮复习规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系学案（全国通用）
展开规范答题示例6 直线与圆锥曲线的位置关系
典例6 (12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，且点在椭圆C上．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆E：＋＝1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y＝kx＋m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q.
①求的值；②求△ABQ面积的最大值．
审题路线图 (1)―→
(2)①―→
②
―→―→
规 范 解 答·分 步 得 分 | 构 建 答 题 模 板 |
解 (1)由题意知＋＝1.又＝， 解得a2＝4，b2＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.2分 (2)由(1)知椭圆E的方程为＋＝1. ①设P(x0，y0)，＝λ，由题意知Q(－λx0，－λy0). 因为＋y＝1，又＋＝1，即＝1， 所以λ＝2，即＝2.5分 ②设A(x1，y1)，B(x2，y2).将y＝kx＋m代入椭圆E的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由Δ>0，可得m2<4＋16k2，(*) 则x1＋x2＝－，x1x2＝. 所以|x1－x2|＝. 因为直线y＝kx＋m与y轴交点的坐标为(0，m)， 所以△OAB的面积S＝|m||x1－x2|＝ ＝＝2.8分 设＝t，将y＝kx＋m代入椭圆C的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由Δ≥0，可得m2≤1＋4k2.(**) 由(*)(**)可知0<t≤1，因此S＝2＝2， 故0<S≤2，当且仅当t＝1，即m2＝1＋4k2时取得最大值2. 由①知，△ABQ的面积为3S， 所以△ABQ面积的最大值为6.12分 | 第一步 求圆锥曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程. 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立得到方程：Ax2＋Bx＋C＝0，然后研究判别式，利用根与系数的关系得等式. 第三步 找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系. 第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系. 第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件. |
评分细则 (1)第(1)问中，求a2－c2＝b2关系式直接得b＝1，扣1分；
(2)第(2)问中，求时，给出P，Q的坐标关系给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x的一元二次方程给1分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．
跟踪演练6 (2018·全国Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．
(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；
(2)证明：∠ABM＝∠ABN.
(1)解 当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．
所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.
即x－2y＋2＝0或x＋2y＋2＝0.
(2)证明 当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，
所以∠ABM＝∠ABN.
当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.
由得ky2－2y－4k＝0，
显然方程有两个不等实根．
所以y1＋y2＝，y1y2＝－4.
直线BM，BN的斜率之和kBM＋kBN＝＋＝.①
将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，
可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.
所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，
所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.
