2019届二轮复习规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题学案（全国通用）

规范答题示例8　函数的单调性、极值与最值问题典例8　(12分)已知函数f(x)＝ln x＋a(1－x)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a－2时，求a的取值范围．审题路线图　―→―→. 规 范 解 答·分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a(x>0).若a≤0，则f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增.若a>0，则当x∈时，f′(x)>0；当x∈时，f′(x)<0.所以f(x)在上单调递增，在上单调递减.5分所以当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上无最大值，不合题意；当a>0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此f>2a－2等价于ln a＋a－1<0.9分令g(a)＝ln a＋a－1，则g(a)在(0，＋∞)上单调递增，g(1)＝0.于是，当0<a<1时，g(a)<0；当a>1时，g(a)>0.因此，a的取值范围是(0,1).12分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.第二步定符号：通过讨论确定f′(x)的符号.第三步写区间：利用f′(x)的符号确定函数的单调性.第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值. 评分细则　(1)函数求导正确给1分；(2)分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(3)求出最大值给2分；(4)构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给2分．跟踪演练8　(2018·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1)．(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点．(1)解　当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3，f′(x)＝x2－6x－3.令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2.当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时，f′(x)>0；当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0.故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2)．(2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立，所以f(x)＝0等价于－3a＝0.设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0在R上恒成立，当且仅当x＝0时g′(x)＝0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－62－<0，f(3a＋1)＝>0，故f(x)有一个零点．综上，f(x)只有一个零点．