2019届二轮复习函数的基本性质学案（江苏专用）

2019届二轮复习  函数的基本性质   学案 （江苏专用）

【三年高考】

【2018江苏，理5】函数的定义域为  ▲  ．

分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域.

详解：要使函数有意义，则，解得，即函数的定义域为.

点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.

【2017江苏，理11】已知函数, 其中e是自然对数的底数. 若,

则实数的取值范围是   ▲   .

【答案】

【考点】利用函数性质解不等式

【名师点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内     

【2016江苏，理5】函数y=的定义域是      .

【答案】

【解析】

【2019年高考命题预测】

纵观各地高考试题，对函数性质的考查是高考命题的主线索，不管是何种函数，都要与函数性质联系起来，主要考查单调性、奇偶性、对称性、周期性以及几方面的综合，或者结合导数研究函数性质的大题. 2019年函数性质的复习，首先要在定义上下功夫，其次要从数形结合的角度认识函数的单性质，深化对函数性质几何特征的理解和运用，同时要注意以下方面：

1.性质通过数语言给出的

这类问题一般没有解析式，也没有函数方程，有的是常见的函数性质语言比如:单调递增，奇函数等等，它通常和不等式联立在一起考查，处理方式主要是通过它所给的性质画出函数的草图然后解决就可以了.

2.性质通过方程和不等式给出的

这类问题通常是考查的抽象函数有关问题，抽象函数因其没有解析式，其性质以方程（或不等式）给出而成为解题依据. 所以在解题时要搞清楚常见方程和不等式所告诉的含义是什么.

3. 性质通过解析式给出的

这类问题有解析式，但考虑的方向不是代人求值问题，而是通过观察解析的特点，从而得到函数的性质，用性质去解决相关问题，考虑的性质一般是先看看函数的对称性，再看看单调性，进一步作出相关的草图就可以解决了. 

【2019年高考考点定位】+ + ]

高考对函数性质的考查有三种主要形式：一是考察单调性，可以从函数图象、单调性定义、导数来理解；二是考察奇偶性，要从图象和定义入手，尤其要注意抽象函数奇偶性的判断；三是对称性和周期性结合，用以考察函数值重复出现的特征以及求解析式.

【考点1】函数的单调性

【备考知识梳理】

1.单调性定义：一般地，设函数的定义域为. 区间.

如果对于区间内的任意两个值当时，都有那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间．

如果对于区间内的任意两个值当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间．

2.利用图象判断函数单调性：在定义域内的某个区间上，若函数图象从左向右呈上升趋势，则函数在该区间内单调递增；若函数图象从左向右呈下降趋势，则函数在该区间单调递减．

【规律方法技巧】

一．判断函数单调性的方法：

1.     定义及变形：设是函数定义域内某个区间内的任意两个不等的自变量，若，则函数在该区间内单调递减；若，则函数在该区间内单调递增.

常见结论: （1）增函数增函数增函数，减函数减函数减函数，增函数减函数增函数，减函数增函数减函数；

（2）函数与函数的单调性相反；

（3）时，函数与的单调性相反（）；

时，函数与的单调性相同（）.

二．单调区间的求法

1.利用基本初等函数的单调区间；

2.图象法：对于基本初等函数及其函数的变形函数，可以作出函数图象求出函数的单调区间.

3.复合函数法：对于函数，可设内层函数为，外层函数为，可以利用复合函数法来进行求解，遵循“同增异减”，即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同，则函数在区间D上单调递增；内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反，则函数在区间D上单调递减.

4.导数法：不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间，不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.

【注】函数的多个递增区间或递减区间不能合并，在表示的时候一般将各区间用逗号或“和”字进行连接.

三．对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意、在所给区间内比较与的大小，或与的大小（要求与同号）．有时根据需要，需作适当的变形：如或等.   ]

【考点针对训练】

1.已知偶函数在区间上单调增加，则的x的取值范围        .

【答案】

2.若函数在上单调递增，则实数的取值范围是        .

【答案】.

【考点2】函数的奇偶性

【备考知识梳理】

1．函数的奇偶性的定义： 

  对于函数定义域内定义域内任意一个，若有，则函数为奇函数；若有，那么函数为偶函数

  2.奇偶函数的性质：

⑴ 定义域关于原点对称；       ⑵ 偶函数的图象关于轴对称；

⑶ 奇函数的图象关于原点对称；     ]

⑷ 奇+奇=奇，奇奇=偶，偶+偶=偶，偶偶=偶，奇偶=奇．

⑸ 为偶函数．      

⑹ 若奇函数的定义域包含，则．

【规律方法技巧】

1．利用定义判断函数奇偶性的步骤：

2．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式 (奇函数)或

(偶函数))是否成立．

3．通过函数图象的对称关系也可以判断奇偶性．若图象关于原点对称，则函数是奇函数；若图象关于轴对称，则函数是偶函数．

4．抽象函数奇偶性的判断方法：

(1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现)；

(2)巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑；

(3)找出与的关系，得出结论．

5．已知函数的奇偶性求函数的解析式．

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于的方程，从而可得的解析式．

6．已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．

7．奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．     

【考点针对训练】

1.已知函数是定义在R上的奇函数，当x<0时，，那么不等式的解集是          .

【答案】

2.下列幂函数中：①；②；③；④；其中既是偶函数，又在区间上单调递增的函数是      .（填相应函数的序号）.

【答案】③

【解析】函数的定义域为，所以函数不是偶函数，故函数不符合题意；函数定义域为,显然为偶函数，但在区间单调递减，所以函数不符合题意；函数定义域为R，为偶函数且在区间单调递增，故函数符合题意；函数定义域为R，为奇函数且在R上单调递增，故函数④不符合题意。综上知，符合题意的幂函数为

【考点3】周期性和对称性

【备考知识梳理】

1．周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

2．最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

3.关于函数周期性常用的结论

(1)若满足，则，所以是函数的一个周期()；

(2)若满足，则 ＝，所以是函数的一个周期()；

(3)若函数满足，同理可得是函数的一个周期().

（4）如果是R上的周期函数，且一个周期为T，那么．

（5）函数图像关于轴对称．

（6）函数图像关于中心对称．

（7）函数图像关于轴对称，关于中心对称．

【规律方法技巧】     ]

1．求函数周期的方法求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y＝Asin(ωx＋φ)，用公式T＝计算．递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以周期T＝2a.换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，x＝t＋a，则f(t)＝f(t＋2a)，所以周期T＝2a．

2．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈ 且k≠0)也是函数的周期．

4.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，体现了转化思想．

【考点针对训练】

1.设定义在R上的函数满足，若，则        .

【答案】

2．定义在R上的函数满足　，当时，单调递增，如果且，则　与0的大小关系是               .

【答案】     

【解析】∵，∴函数的图象关于对称，∵当时，单调递增，

∴函数在R上单调递增且，∵，∴，∵，

∴不妨设，则，，且，由函数的对称性，∴.

【两年模拟详解析】

1．【江苏省苏州市2018届高三调研测试（三）数试题】如果函数在其定义域内总存在三个不同实数，满足，则称函数具有性质.已知函数具有性质 ，则实数的取值范围为          .

【答案】

【解析】分析：将题意转化为在R上有三个不同的实数根.，设，由导数与函数单调性的关系，大致判断的单调性，由大致图象即可求出.

解析：由题意知：若 具有性质，则在定义域内有3个不同的实数根，

点睛：（1）零点问题可转化为函数图象的交点问题进行求解，体现了数形结合的思想．

（2）求零点范围时用数形结合求解可减少思维量，作图时要尽量准确.

2．【2018年全国普通高等校招生统一考试数（江苏卷）】函数满足，且在区间上，则的值为    ．

【答案】

【解析】

分析：先根据函数周期将自变量转化到已知区间，代入对应函数解析式求值，再代入对应函数解析式求结果.

详解：由得函数的周期为4，所以因此

点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.

3．【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数试题】已知函数f(x)＝x3－3x2＋1，g(x)＝，若方程g[f(x)]－a＝0（a＞0）有6个实数根（互不相同），则实数a的取值范围是      ．

【答案】

【解析】分析：利用换元法设t=f（x），则g（t）=a分别作出两个函数的图象，根据a的取值确定t的取值范围，利用数形结合进行求解判断即可．

详解：作出函数f（x）和g（x）的图象如图：     

，，

点睛：本题主要考查根的个数的判断，利用换元法转化为两个函数的交点个数问题，利用分类讨论和数形结合是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

4．【江苏省海门中2018届高三5月考试（最后一卷）数试题】已知函数，则不等式的解集为      .

【答案】（0，2）.

点睛：对于求值或范围的问题，一般先利用函数的奇偶性得出区间上的单调性，再利用其单调性脱去函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题，若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．    ]

5．【江苏省扬州树人校2018届高三模拟考试（四）数试题】已知函数的最小值为，则实数的取值集合为          ．

【答案】.

【解析】分析：通过讨论与0,1的大小关系化简函数解析式，判断出函数在两区间和上的最小值，然后根据题意得到关于的方程，求解可得结果．

详解：①若，即时，则，

 ∴在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．

∵函数 最小值为，

∴．

②当，即时，则，

∴在上上先减后增，最小值为；在上的最小值为．

点睛：本题考查分段函数的最值，解题的关键是根据与0,1的大小关系进行分类讨论，然后通过讨论函数的单调性得到最小值，再根据函数的最小值为可得所求．

6．【江苏省苏州市第五中校2018届高三上期期初考试数（文）试题】已知，则不等式的解集为        ．

【答案】

【解析】

【分析】         

根据分段函数的表达式，判断函数的单调性和取值范围，结合一元二次不等式的解法进行求解即可.

【详解】

当时，，则函数在上为增函数；

当时，，则函数在上为增函数.

作出函数图象，如图：

【点睛】

本题主要考查不等式的求解，根据分段函数的表达式判断函数的单调性的性质，结合一元二次不等式的解法进行求解是解决本题的关键.

7．【江苏省苏州市第五中校2018届高三上期期初考试数（文）试题】函数的定义域为      ．

【答案】

【解析】

【分析】

直接由根式内部的代数式大于等于0，然后求解对数不等式得答案.

【详解】

由，得，

函数的定义域为.

故答案为：.   ]

【点睛】

本题考查了函数的定义域及其求法，考查对数不等式的解法，是基础题.     

8．【江苏省南京市2018届高三第三次模拟考试数试题】若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为         ．

【答案】

点睛：本题主要考查函数的周期性和分段函数求值，意在考查对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.

9．【江苏省苏锡常镇四市2017-2018年度高三教情况调研（二）数试题】已知函数若存在实数，满足，则的最大值是    ．

【答案】.

【解析】分析: 根据函数f（x）图象判断a，b，c关系即范围，用c表示出af（a）+bf（b）+cf（c），根据函数单调性求出最大值．

详解: 作出f（x）的函数图象如图所示：

点睛: （1）本题有三个关键点,其一是能够很熟练准确地画出函数的图像；其二是从图像里能发现a+b=-6, ＜c＜e2；其三是能够想到构造函数g（c）=（c﹣6）lnc，利用导数求函数的最大值.（2）本题要求函数的图像和性质掌握的比较好，属于中档题.

10．【江苏省南京师范大附属中、天一、海门、淮阴四校2018届高三联考数调研测试试题】设是定义在上且周期为的函数，在区间上，其函数解析式是，其中.若，则的值是          ．

【答案】

【解析】∵是周期为的函数， ，   . ]

∴，

∴，

∴．

∴，

∴．

答案：1

【一年原创真预测】

1.已知函数，则对任意实数，与0的大小关系为               .

【答案】

【入选理由】本题考查函数的性质、单调性、奇偶性，意在考查生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．本题初次接触会有茫然无头绪的感觉，但是能从题干提取函数性质的信息，就会有豁然开朗的感觉，此题构思巧妙，的确是一个好题，故选此题.     

2.若函数满足对任意，都有，如图表示该函数在区间上的图像，则＋＝（  ）

【答案】3

【入选理由】本题考查函数的周期性，考查数形结合思想，意在考查生的运算能力，分析问题、解决问题的能力．此题立意新，通过数形结合，找出函数值，再利用周期性求解，难度不大，体现小题综合性的高考出题方向，故选此题.

3.已知，若不等式对于任意恒成立，则的取值范围为        .

【答案】

【入选理由】本题考查导数与函数的单调性，利用导数求函数的最值，不等式恒成立等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题解决问题以及运算求解能力．利用导数研究函数的单调性，是高考常考的题型，而恒成立问题高考多次考查，此题是单调性的应用，比较典型，故选此题.