2019届二轮复习第2讲　平面向量与复数学案（全国通用）

第2讲　平面向量与复数
　【p13】

　【p14】
年份
卷别
题号
考查内容
命题规律





2018




Ⅰ




1
复数代数形式的四则运算、复数的模



6
平面向量的线性运算



8
平面向量的数量积、
直线与抛物线的位置关系



Ⅱ




1
复数代数形式的四则运算



4
平面向量的数量积



Ⅲ




2
复数代数形式的四则运算



13
向量的线性运算、平行的判定与坐标表示



2017




Ⅰ




3
命题、复数的运算



13
向量的模、向量的数量积



Ⅱ




1
复数的运算



12
平面向量的数量积



Ⅲ




2
复数的运算、复数的模



12
平面向量基本定理、直线与圆的位置关系



2016




Ⅰ




2
复数相等的充要条件、复数的模



13
向量数量积的坐标运算



Ⅱ




1
复数的几何意义



3
向量的坐标运算和垂直关系



Ⅲ




2
共轭复数的概念、复数的运算



3
平面向量的数量积及坐标运算
　　复数的代数运算，还包括根据含z或某参数的等式求z(模|z|、实部a，虚部b)或参数，或根据两个复数的位置关系求某个复数．
向量的考法主要有：一、根据向量的坐标或几何表示，结合向量及其运算的几何意义，作平面向量的运算．二、在已知条件中将平面图形中的几何关系用向量运算表示，要求转化为代数关系或位置关系.


备 考 建 议　【p14】
对于平面向量要把握破解平面向量与“三角”交汇题的关键：一是巧“化简”，即活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行化简；二是会“转化”，把向量共线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目，转化为“对应坐标乘积之间的关系”．
对于复数要掌握复数的概念、纯虚数、复数相等、复数的模、共轭复数等，以及复数的几何意义及四则运算(重点考查复数的乘除)．
典 例 剖 析　【p14】
探究一　复数的概念及运算
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1(1) 已知i是虚数单位，若复数z＝－i的实部与虚部相等，则z的共轭复数＝(　　)
A．－1＋i
B．1＋i
C．1－i
D．－1－i
【解析】选C.
复数z＝－i＝1－ai.实部与虚部相等，则a＝－1.
z＝1＋i，＝1－i.故选C.
(2)已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上所对应的点分别为A、B、C，若＝λ＋μ(O为坐标原点，λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】选A.
因为复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们所对应的点分别为A，B，C，∴A，B，C，因为点的坐标与以原点为起点的向量的坐标相同，所以由＝λ＋μ，得＝λ＋μ＝，∴解得∴λ＋μ＝1，故选A.
探究二　平面向量的线性运算
例2 (1)如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA＝60°，∠ABD＝30°，＝x＋y，则x＋y的值为(　　)

A．－ B．0
C．1 D．－
【解析】选B.
由题意得CD过圆心，所以＝2＝2(＋)＝2(－＋)⇒x＝2，y＝－2，x＋y＝0.
(2)在△ABC中，P为BC边中点，点A、B、C的对边长分别是a、b、c.若c＋a＋b＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等边三角形
B．等腰三角形非等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
【解析】选A.
将·都用基向量、表示出来可得c－(＋)－(－)＝0，
－＝0，
∴
∴a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形．
【点评】用已知向量来表示一些未知向量是用向量解题的基本要求，除利用向量的加减法、实数与向量相乘外，还应充分利用平行四边形的一些定理．因此，在求向量时要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相连的向量，运用向量加、减法运算及实数与向量相乘来求解，即充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系，运用三角形的加法法则、平行四边形法则、三角形的减法法则，充分利用三角形的中位线、相似三角形对应边成比例的平面几何性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．
探究三　平面向量的数量积
例3 (1)设四边形ABCD为平行四边形，||＝6，||＝4.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20 B．15 C．9 D．6
【解析】选C.
解法一：如图，·＝·＝·
＝2－2＝×62－×42＝9.

解法二：特殊化处理，将平行四边形ABCD视为矩形，以A为坐标原点，以AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系，由已知可得M(6，3)，N(4，4)，∴＝(6，3)，＝(2，－1)，∴·＝6×2－3×1＝9.
【点评】涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos β＝__________．
【解析】
cos β＝＝
＝
＝＝＝.
【点评】在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．
探究四　平面向量与三角函数结合问题
例4 已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(1＋cos β，－sin β)．
(1)若α＝，β∈(0，π)，且a⊥b，求β；
(2)若β＝α，求a·b的取值范围．
【解析】(1)∵a⊥b，
∴a·b＝cos α＋cos αcos β－sin αsin β＝0，
∵α＝，∴cos ＋cos cos β－sin sin β＝0，
整理得cos＝－，
∴β＋＝＋2kπ(k∈Z)或β＋＝＋2kπ(k∈Z)，
∵β∈(0，π)，∴β＝.
(2)a·b＝cos α＋cos2α－sin2α＝cos α＋2cos2α－1，
令t＝cos α，t∈[－1，1]，
∴a·b＝2t2＋t－1＝2－，
∴当t＝1时，(a·b)max＝2，
当t＝－时，(a·b)min＝－，
∴a·b的取值范围为.
【点评】在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题．在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．
探究五　平面向量与其他知识结合问题
例5 (1)如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB∥DC，AB＝2，AD＝DC＝1，图中圆弧所在圆的圆心为点C，半径为，且点P在图中阴影部分(包括边界)运动．若＝x＋y，其中x，y∈R，则4x－y的取值范围是(　　)

A. B.
C. D.
【解析】选B.
以A点为坐标原点，，方向为x轴，y轴正方向建立直角坐标系，设点P的坐标为P(m，n)，由意可知：＝x(2，0)＋y(－1，1)，
据此可得则
目标函数：z＝4x－y＝2m＋n，
其中z为直线系n＝－2m＋z的截距，
当直线与圆相切时，目标函数取得最大值3＋.
当直线过点时，目标函数取得最小值2，
则4x－y的取值范围是.
故选B.
【点评】本题同时考查平面向量基本定理和线性规划中的最值问题．求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b>0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴上截距最小时，z值最小；当b