2019届二轮复习第3招图形向量当中画几何建系基底忙学案（江苏专用）
展开图形向量当中画，几何建系基底忙
平面向量的考查重点为平面向量的相等的概念、平面向量平行的概念及充要条件、平面向量加减法及其几何意义、实数与向量积的运算概念及运算性质、平面向量基本定理、平面向量的坐标运算，特别是平面向量平行与垂直的充要条件、运用平面向量的加减法、实数与向量数量积及平面向量基本定理将未知向量用已知向量表示出来（基底法）、建立平面直角坐标系（建系法）是考查的重点中的重点，往往和解析几何结合出题，三角函数等结合出题，而对向量的数量积及运算律的考查多为填空题；平面向量的数量积作为级考点，是高考中的必考点，考查题型中填空题、解答题都有涉及，分值在10~15分左右，难度低，中档题题为主.平面向量的数量积有两种不同的计算公式，运用时要根据实际情况来选择，在几何图形中如三角形和四边形中研究向量的数量积问题时，可以选择建立坐标系，也可以选择用基底向量进行计算.本文就高考中数量积常用的两种方法基底法和建系法进行讲解以飨读者！
一、基底法在平面向量中的运用（巧用基底）
用基底法解决问题的一般思路是：当向量的模或夹角不明确，且建立直角坐标系后，相关的点坐标不容易求出，此时，先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.选择的基底不同，往往决定了解决问题的繁琐程度，因此基底法的关键是选择合适的基底，通常从条件中、问题中、图形中、或从给定模长的向量等几个方面中选取一组基底，从而建立代数式或者方程来解决问题.
1.三角形
在三角形中，我们一般选择用一个顶点出发的两条邻边所在直线上的向量为基底进行向量的分解，并尽量把基向量放置已知的角或者已知的边上.
【2013江苏，10】设分别是的边上的点，，.若(为实数)，则的值为________.
分析：本题的关键是将用表示出来，利用待定系数法得出的值
【答案】
【解析】
∵在中，
，∴，.
故.
【2016江苏，13】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，,则的值是________.
分析：本题选取了以为基底，将条件中出现的4个向量均用基底表示出来，列出方程组，得到基底向量的模长，再将问题中的2个向量用基底表示出来 ，从而进行求解.当然这个题也可以选取其它基底，例如：向量为基底也可以求解，有兴趣的同学可以试试看！
【答案】
【解析】
令，则，则
，
则,
由，可得，因此，
因此
总结：有时候基底的选择不唯一，上述例题给出了常见选择基底的常见方法和类型.
2.四边形
在四边形中，无论是平行四边形还是其他四边形，一般地，我们选用一个顶点出发的两条邻边所在直线上的向量为基底进行向量的分解.
【2014江苏，12】如图，在平行四边形中，已知，，则的值是________
分析：本题主要考查向量，向量的基底表示，向量的运算，本题关键在于选取哪两个向量为基底，根据题目中已知的两条边长，选为基底最为合适.
【答案】22
【解析】以为基底，因为，
，
则
因为则，故
二、建（立平面直角坐标）系法在平面向量中的运用（妙用建系）
图形特殊可建系
所谓的特殊图形指的是一些规则图形，如三角形（等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等）、四边形（平行四边形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、直角梯形等）、扇形和圆形等，当我们见到这样一些特殊图形的时候可以尝试这去建立平面直角坐标系的方法解决.建系法的关键在于选择合适的原点和轴，原点和轴的选取不同，也决定了计算的繁简程度.下面就不同类型的图形应当选择什么为原点和坐标轴可以简化计算进行举例说明.
等边三角形
1.【2017课标II，理12】已知是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小是________.
【答案】
【解析】对于等边三角形通常以三角形其中的一条边为轴，这边上的中点为原点建立平面直角坐标系.如果是等腰三角形则通常以底边为轴，底边上的中点为原点建立平面直角坐标系.
以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立坐标，则
，设，所以
，所以
，当时，所求的最小值为.
等腰直角三角形
2.【2015年高考模拟(南通市数学学科基地命题)(4)】在中，，，是斜边上的两个动点，且，则的取值范围为 .
分析：对于直角三角形通常以直角顶点为原点，其中的一条直角边为轴建立平面直角坐标系.
【答案】
【解析】以所在直线为，轴，建立平面直角坐标系，设，则，即，又，所以点的坐标为，即，于是
，所以
时，取最小值，或1时，取最大值，因此的取值范围为
扇形
3.(2015·徐州、连云港、宿迁三检)如图，半径为的扇形的圆心角为，，分别为线段，的中点，为弧上任意一点，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】对于扇形和圆形通常以圆心为原点，其中的一条半径为轴建立平面直角坐标系.
如图，以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则，，由题意可设点，其中，
所以,，
所以
，其中，
因为，所以，
所以，，，
即的取值范围是.
（三）基底、建系齐头并进
其实很多能用基底法解决的数量积问题如果能够合理建系，利用坐标求数量积，也不失为一种好办法.我们仔细揣摩，不难发现，其实建系法不过是基底法的特殊化，有时一个向量问题既可以用基底法解决也可以用建系法解决.
1.【2012江苏，9】如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是________.
分析：建立以为坐标轴的直角坐标系，求出各点坐标后求解
【答案】
解法一：
，解得
分析根据所给的图形，把已知向量用矩形的边所在的向量来表示，作出要用的向量的模长的数量积，注意应用垂直的向量数量积等于，得到结果
解法二：
，
解法三：由，得，由矩形的性质，得. ∵，∴，∴.∴.
记之间的夹角为，则. 又∵点为的中点，
∴
2.【南京市、盐城市2016届高三年级第一次模拟考试数学】如图，在中，，，，则的值为 .
【答案】
【解析】解法一：注意到的长度以及它们的夹角是已知的，故采用向量的基底法来加以解决，故选择作为基底，通过向量的运算法则将所研究的向量转化为基底则可.
解法二：由于所给出的三角形是一个特殊的等腰三角形，因此，采用坐标法来加以研究，将向量用坐标加以表示，则问题可以得到解决.
以线段所在直线作为轴，它的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，因为，令，则，解得，
从而点.又由于，所以,为此
,故.
基底法和坐标法师解决平面向量数量积的通性通法，在平时的教与学中，不断地强化这两种思想方法的运用，仔细体会它们之间的联系和区别，对类似问题的处理便有了有效的方法和足够解决问题的信心，这对提高学生解题能力和解题效率大有裨益.
