2019届二轮复习第3练　不等式与线性规划学案（全国通用）

第3练　不等式与线性规划
[明晰考情]　1.命题角度：不等式的性质和线性规划在高考中一直是命题的热点.2.题目难度：中低档难度.

考点一　不等关系与不等式的性质
要点重组　不等式的常用性质
(1)如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd.
(2)如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥1).
(3)如果a>b>0，那么>(n∈N，n≥2).
1.若a，b，c为实数，则下列命题为真命题的是(　　)
A.若a＞b，则ac2>bc2
B.若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
C.若a＜b＜0，则＜
D.若a＜b＜0，则＞
答案　B
解析　B中，∵a＜b＜0，
∴a2－ab＝a(a－b)＞0，
ab－b2＝b(a－b)＞0.
故a2＞ab＞b2，B正确.
2.(2018·全国Ⅲ)设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则(　　)
A.a＋b＜ab＜0 B.ab＜a＋b＜0
C.a＋b＜0＜ab D.ab＜0＜a＋b
答案　B
解析　∵a＝log0.20.3＞log0.21＝0，b＝log20.3＜log21＝0，∴ab＜0.
∵＝＋＝log0.30.2＋log0.32＝log0.30.4，
∴1＝log0.30.3＞log0.30.4＞log0.31＝0，
∴0＜＜1，∴ab＜a＋b＜0.
3.(2017·山东)若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)
A.a＋＜＜log2(a＋b) B.＜log2(a＋b)＜a＋
C.a＋＜log2(a＋b)＜ D.log2(a＋b)＜a＋＜
答案　B
解析　方法一　∵a＞b＞0，ab＝1，
∴log2(a＋b)＞log2(2)＝1.
∵a>b>0，ab＝1，∴a>1，00，则的最小值为________.
答案　4
解析　∵a，b∈R，ab＞0，
∴≥＝4ab＋≥2＝4，
当且仅当即且a，b同号时取得等号.
故的最小值为4.
考点四　简单的线性规划问题
方法技巧　(1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.
(2)常见的目标函数
①截距型：z＝ax＋by；
②距离型：z＝(x－a)2＋(y－b)2；
③斜率型：z＝.
13.(2018·天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x＋5y的最大值为(　　)
A.6 B.19　C.21 D.45
答案　C
解析　画出可行域如图中阴影部分所示(含边界)，由z＝3x＋5y，得y＝－x＋.

设直线l0为y＝－x，平移直线l0，当直线y＝－x＋过点P(2，3)时，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21.故选C.
14.(2018·安徽省“皖南八校”联考)设x，y满足约束条件则z＝|x＋3y|的最大值为(　　)
A.15 B.13 C.3 D.2
答案　A
解析　画出约束条件所表示的可行域，如图(阴影部分含边界)所示，

设z1＝x＋3y，可化为y＝－x＋，
当直线y＝－x＋经过点A时，
直线在y轴上的截距最大，此时z1取得最大值，
当直线y＝－x＋经过点B时，
直线在y轴上的截距最小，此时z1取得最小值，
由解得A(3，4)，
此时最大值为z1＝3＋3×4＝15；
由解得B(2，0)，
此时最小值为z1＝2＋3×0＝2，
所以目标函数z＝|x＋3y|的最大值为15.
15.(2016·山东)若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是(　　)
A.4 B.9 C.10 D.12
答案　C
解析　满足条件的可行域如图阴影部分(包括边界)，x2＋y2是可行域上动点(x，y)到原点(0，0)距离的平方，显然，当x＝3，y＝－1时，x2＋y2取最大值，最大值为10.故选C.

16.若实数x，y满足不等式组则z＝2|x|＋y的最大值为(　　)
A.12 B.11 C.7 D.8
答案　B
解析　满足条件的不等式组所表示的平面区域为如图所示的△ABC及其内部，

其中A(6，－1)，B(0，1)，C(－2，－1)，
z＝2|x|＋y可转化为
或
①当z＝2x＋y(x≥0)时，目标函数线经过点A(6，－1)时，z取最大值，zmax＝11；
②当z＝－2x＋y(x＜0)时，目标函数线经过点C(－2，－1)时，z取最大值，zmax＝3.
综上可知，z＝2|x|＋y的最大值为11，故选B.

1.若不等式(－2)na－3n－1－(－2)n＜0对任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　当n为奇数时，要满足2n(1－a)＜3n－1恒成立，
即1－a＜×n恒成立，只需1－a＜×1，解得a＞；
当n为偶数时，要满足2n(a－1)＜3n－1恒成立，
即a－1＜×n恒成立，只需a－1＜×2，解得a＜.
综上，＜a＜，故选D.
2.已知实数x，y满足不等式组则(x－3)2＋(y＋2)2的最小值为______.
答案　13
解析　画出不等式组表示的平面区域(图略)，易知(x－3)2＋(y＋2)2表示可行域内的点(x，y)与(3，－2)两点间距离的平方，通过数形结合可知，当(x，y)为直线x＋y＝2与y＝1的交点(1，1)时，(x－3)2＋(y＋2)2取得最小值，为13.
3.设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为____________.
答案　4
解析　画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z＝ax＋by(a＞0，b＞0)过直线x－y＋2＝0与直线3x－y－6＝0的交点(4，6)时，目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)取得最大值12，即2a＋3b＝6，则＋＝＋＝2＋＋≥4，当且仅当＝，即时取等号.

解题秘籍　(1)不等式恒成立或有解问题能分离参数的，可先分离参数，然后通过求最值解决.
(2)利用基本不等式求最值时要灵活运用两个公式：
①a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号；
②a＋b≥2(a>0，b>0)，当且仅当a＝b时取等号.注意公式的变形使用和等号成立的条件.
(3)理解线性规划问题中目标函数的实际意义.


1.若x＞y＞0，m＞n，则下列不等式正确的是(　　)
A.xm＞ym B.x－m≥y－n
C.＞ D.x＞
答案　D
2.已知a>0，b＞0，且a≠1，b≠1，若logab＞1，则(　　)
A.(a－1)(b－1)＜0 B.(a－1)(a－b)＞0
C.(b－1)(b－a)＜0 D.(b－1)(b－a)＞0
答案　D
解析　取a＝2，b＝4，则(a－1)(b－1)＝3＞0，排除A；则(a－1)(a－b)＝－2＜0，排除B；(b－1)(b－a)＝6＞0，排除C，故选D.
3.设函数f(x)＝则不等式f(x)>f(1)的解集是(　　)
A.(－3，1)∪(3，＋∞) B.(－3，1)∪(2，＋∞)
C.(－1，1)∪(3，＋∞) D.(－∞，－3)∪(1，3)
答案　A
解析　f(1)＝3.由题意得或
解得－31)米，AC＝t(t>0)米，依题意知AB＝AC－0.5＝t－0.5(米)，
在ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 60°，即(t－0.5)2＝t2＋x2－tx，
化简并整理得t＝(x>1)，即t＝x－1＋＋2，
又x>1，故t＝x－1＋＋2≥2＋，
此时t取最小值2＋，故选D.
6.已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω：若圆心C∈Ω，且圆C与x轴相切，则a2＋b2的最大值为(　　)
A.5 B.29 C.37 D.49
答案　C
解析　如图，由已知得平面区域Ω为△MNP内部及边界.

∵圆C与x轴相切，∴b＝1.
显然当圆心C位于直线y＝1与x＋y－7＝0的交点(6，1)处时，|a|max＝6.
∴a2＋b2的最大值为62＋12＝37.故选C.
7.实数x，y满足且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　在平面直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.

8.若对任意的x，y∈R，不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A.(－∞，1] B.[1，＋∞) C.[－1，＋∞) D.(－∞，－1]
答案　B
解析　不等式x2＋y2＋xy≥3(x＋y－a)对任意的x，y∈R恒成立等价于不等式x2＋(y－3)x＋y2－3y＋3a≥0对任意的x，y∈R恒成立，所以Δ＝(y－3)2－4(y2－3y＋3a)＝－3y2＋6y＋9－12a＝－3(y－1)2＋12(1－a)≤0对任意的y∈R恒成立，所以1－a≤0，即a≥1，故选B.
9.设函数f(x)＝，则不等式＞－f 的解集是________.
答案　
解析　函数f(x)的定义域为(－1，1)且在(－1，1)上单调递增，f(－x)＝－f(x)，所以＞－f ⇔＞f ⇔－＜＜1，解得x∈.
10.(2018·天津)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________.
答案　
解析　∵a－3b＋6＝0，∴a－3b＝－6，∴2a＋＝2a＋2－3b≥2＝2＝2＝2×2－3＝，
当且仅当即时取到等号，则最小值为.
11.(2018·衡阳模拟)设0