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2019届二轮复习第4讲 导数的简单应用学案（全国通用）
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第4讲 导数的简单应用
1.【引·全国卷】
[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
【荐·地方卷】
[2016·山东卷] 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
[试做] _________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________命题角度 曲线的切线问题
(1)解决曲线的切线问题:关键一,搞清楚是在某点处的切线,还是过某点的切线;
关键二,利用导数的几何意义求出曲线在该点处的切线的斜率;
关键三,关注切点的双重性,即切点既在切线上,也在曲线上.
(2)直线与曲线有一个公共点不能说明直线与曲线相切,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有一个公共点.
2.(1)[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.-1,
C.-, D.-1,-
(2)[2014·全国卷Ⅱ] 若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
[试做] _________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________命题角度 利用导数解决函数单调性问题
(1)利用导数解决函数单调性问题:
关键一,对函数求导;
关键二,令f'(x)>0,f'(x)<0,解不等式即可.
(2)给出单调区间求参数问题:
关键一,对函数求导;
关键二,利用单调递增,导数值恒大于或等于0,单调递减,导数值恒小于或等于0构造新不等式;
关键三,分离参数,解不等式.
注意:端点的取值是否满足条件.
3.[2013·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是 ( )
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0
[试做] _________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________命题角度 解决三次函数图像和性质问题
(1)解决三次函数图像和性质问题:关键一,根据导函数图像画出三次函数的大致图像;
关键二,若三次函数y=f(x)的导函数为y=ax2+bx+c,当Δ≤0时,y=f(x)无极值,当Δ>0时,y=f(x)有2个极值.
(2)(特殊值法)取特殊值,例如f(x)=x3+x2+x+1.
小题1导数的几何意义
1 (1)曲线y=x+ln x在点M(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 ( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)=ex-x2的图像在点(1,f(1))处的切线过点(0,a),则a= .
[听课笔记] ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________【考场点拨】
应用导数的几何意义解题时应注意:(1)f'(x0)与f(x0)的区别与联系,f(x0)表示函数f(x)在x=x0时的函数值,是一个常数,f'(x0)表示导函数f'(x)在x=x0处的函数值;(2)函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率;(3)注意切点既在原函数的图像上也在切线上这一条件的应用.
【自我检测】
1.若曲线y=的一条切线经过点(4,0),则此切线的斜率为 ( )
A. B.3
C.3 D.4
2.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是y=-3x+4,则f(2)+f'(2)的值为 ( )
A.5 B.-5
C.3 D.-3
3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,若曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,,则点P横坐标的取值范围为 ( )
A.-1,- B.[-1,0]
C.[0,1] D.,1
4.设函数f(x)=g(x)+x2,若曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 .
小题2与导数有关的函数图像问题
2 (1)函数f(x)=-x(x∈[-π,π])的图像大致是 ( )
A B C D
图M1-4-1
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图像可能是 ( )
A B C D
图M1-4-2
[听课笔记] ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________【考场点拨】
高考中与导数有关的函数图像问题的关注点:
(1)与函数图像相关的问题,常利用导数的几何意义、单调性、极值点等知识去解决,一般是利用排除法解决.
(2)导函数在某个区间D上有f'(x)>0 恒成立,则导函数的图像在区间D上恒在x轴的上方;导函数在某个区间D上有f'(x)<0 恒成立,则导函数的图像在区间D上恒在x轴的下方.|f'(x)|的大小决定了f(x)变化的快慢.
【自我检测】
1.[2018·全国卷Ⅲ] 函数y=-x4+x2+2的图像大致为 ( )
A B C D
图M1-4-3
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是 ( )
A B C D
图M1-4-4
3.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像如图M1-4-5所示,则= .
图M1-4-5
小题3利用导数研究函数的单调性
3 (1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(2-x)·f'(x)≤0,则必有 ( )
A.f(1)+f(3)<2f(2) B.f(1)+f(3)≤2f(2)
C.f(1)+f(3)>2f(2) D.f(1)+f(3)≥2f(2)
(2)若f(x)=x3-ax2+x在(-∞,+∞)上不是单调函数,则a的取值范围是 .
[听课笔记] ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________【考场点拨】
高考中利用导数研究函数单调性的关注点:
常见题型有以下三种:
(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,但是要注意定义域.
(2) 解决含参数的函数问题及不等式问题要注意两个转化:一是利用导数解决含有参数的函数单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用;二是将不等式的证明、方程的根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.
(3)已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.
【自我检测】
1.函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为 ( )
A.-∞,-∪0,
B.-,0∪,+∞
C.0,
D.,+∞
2.已知定义在R上的函数f(x)=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-1,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
3.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且满足f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,则当a
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
4.若函数f(x)=2x2-ln x在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围为 .
小题4利用导数研究函数的极值、最值
4 若关于x的不等式≥6-4x在(0,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.-∞,2 B.-∞,2
C.2,+∞ D.2,+∞
[听课笔记] ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________【考场点拨】
高考中求极值、最值的易失分点:
(1)对于含参数函数的极值、最值问题,要注意分类讨论思想的应用.注意导函数的零点不一定是极值点.
(2)在闭区间上图像连续的函数一定存在最大值和最小值,在不是闭区间的情况下,函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在,也可能只存在一个,也可能既无最大值也无最小值;在一个区间上,如果函数只有一个极值点,那么这个极值点就是最值点.
【自我检测】
1.函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上 ( )
A.有极大值 B.有极小值
C.是增函数 D.是减函数
2.若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2]上有极小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-,1) B.[-,1)
C.[-2,1) D.(-2,1)
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a= ( )
A.4或-3 B.4或-11
C.4 D.-3
4.已知函数g(x)=a-x2≤x≤e,e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 ( )
A.1,+2 B.[1,e2-2]
C.+2,e2-2 D.[e2-2,+∞)
5.已知函数f(x)=ln x+2ex2,g(x)=x3+kx(k∈R),若函数y=f(x)-g(x)只有1个零点,则函数g(x)在[0,e]上的最大值为 ( )
A.0 B.e3+1
C.2e3+ D.2e3+1
第4讲 导数的简单应用
典型真题研析
1.【引·全国卷】
8 [解析] 对函数y=x+ln x求导得y'=1+,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,又该切线也为函数y=ax2+(a+2)x+1的切线,所以由得ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以Δ=a2-8a=0,得a=8或a=0(舍).
【荐·地方卷】
A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1.对于A,y'=(sin x)'=cos x,存在x1,x2使cos x1·cos x2=-1.
2.(1)C (2)D [解析] (1)方法一:对函数f(x)求导得f'(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+,因为函数f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0,即-cos2x+acos x+≥0恒成立.设t=cos x∈[-1,1],则g(t)=4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,所以有解得-≤a≤.
方法二:取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f'(x)=1-cos 2x-cos x,但f'(0)=1--1=-<0,不满足f(x)在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D,故选C.
(2)f'(x)=k-=,且x>0,由题可知f'(x)≥0,即得kx-1≥0,得x≥(k<0时不满足).因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以≤1,解得k≥1.
3.C [解析] x→-∞时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)>0,又f(x)连续,∃x0∈R,f(x0)=0,A正确.通过平移变换,函数可以化为f(x)=x3+c,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形,B正确.若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1,若x1
小题1
例1 (1)A (2)1 [解析] (1)y'=1+,所以切线的斜率为2,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.直线2x-y-1=0与两坐标轴的交点分别为,0,(0,-1),所以所求三角形的面积为××1=.故选A.
(2)由题意知f(1)=e-1 ,f'(x)=ex-2x,所以f'(1)=e-2,所以f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),化简得y=(e-2)x+1,将点(0,a)代入切线方程,得a=1.
【自我检测】
1.C [解析] y=的导数为y'=,设切点为(m,n),则n=,且=,解得m=12,故切线的斜率为×=3,故选C.
2.B [解析] f(2)=-3×2+4=-2,因为曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是y=-3x+4,所以f'(2)=-3,
所以f(2)+f'(2)=-2+(-3)=-5,故选B.
3.A [解析] 设P(x0,y0),切线的倾斜角为α,因为y'=2x+2,所以切线的斜率k=tan α=2x0+2∈[0,1],可得x0∈-1,-,故选A.
4.4 [解析] 因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g'(1)=2,又f'(1)=g'(1)+2×1=4,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4.
小题2
例2 (1)B (2)C [解析] (1)函数f(x)=-x=-xecos x(x∈[-π,π])是奇函数,故排除A,C;当x>0时,f'(x)=ecos x
(xsin x-1),令ecos x(xsin x-1)=0,可得xsin x=1,当x=时,sin=<1,当x=时,sin>1,所以xsin x=1的一个根x1落在,内,并且x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,当x=时,sin=>1,当x=π时,πsin π=0<1,所以xsin x=1的一个根x2落在,π内,并且x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,x∈(x2,π)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,所以排除D.故选B.
(2)∵函数f(x)在x=-2处取得极小值,∴f'(-2)=0,且函数f(x)在x=-2左侧附近为减函数,在x=-2右侧附近为增函数,即当x<-2时,f'(x)<0,当x>-2时,f'(x)>0,从而当x<-2时,y=xf'(x)>0,当-20时,y=xf'(x)>0,结合选项可知只有C符合题意,故选C.
【自我检测】
1.D [解析] y'=-4x3+2x=-2x(x-1)(x+1),易知当x>0时,函数y=-x4+x2+2在0,上单调递增,在,+∞上单调递减,又函数y=-x4+x2+2为偶函数,故选D.
2.A [解析] ∵函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,∴函数y=f(x)图像的切线斜率越来越大.A中函数图像的切线斜率越来越大,满足条件;B中函数图像的切线斜率越来越小,不满足条件;C中函数图像的切线斜率是常数,不满足条件;D中函数图像的切线斜率先越来越大,然后越来越小,不满足条件.故选A.
3.1 [解析] 由函数的图像可知,x=2为函数的极大值点,x=-1为函数的极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根.由f(x)=ax3+bx2+cx+d得f'(x)=3ax2+2bx+c,由f'(x)=3ax2+2bx+c=0,得2+(-1)=-=1,-1×2==-2,即c=-6a,2b=-3a,故f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),则===1.
小题3
例3 (1)D (2)(-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] (1)因为(2-x)f'(x)≤0,所以当x≤2时,f'(x)≤0,所以f(1)≥f(2),当x>2时,f'(x)≥0,所以f(3)≥f(2),则f(1)+f(3)≥2f(2).故选D.
(2)f'(x)=x2-2ax+1,由于函数f(x)=x3-ax2+x在(-∞,+∞)上不是单调函数,所以方程x2-2ax+1=0有2个实数根,可得Δ=4a2-4>0,解得a>1或a<-1.
【自我检测】
1.D [解析] 函数y=3x2-2ln x的定义域为(0,+∞),由题意知y'=6x-=,由f'(x)>0,解得x>,故函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为,+∞,故选D.
2.D [解析] 根据题意,函数f(x)=ax3+x2+ax+1,其导函数f'(x)=ax2+2x+a.若函数f(x)=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则f'(x)=ax2+2x+a有2个不同零点,则有Δ=4-4a2>0,且a≠0,可得-1f(b)g(b).故选C.
4.1, [解析] 因为函数f(x)在(k-1,k+1)上有定义,所以k-1≥0,得k≥1.又f'(x)=4x-,令4x-=0,得x=或x=-(舍去),所以x=是函数f(x)的极值点,又f(x)在(k-1,k+1)上不单调,所以∈(k-1,k+1),即k-1<
小题4
例4 D [解析] 由不等式≥6-4x在(0,+∞)上恒成立,可得m≥.设f(x)=(x>0),
则f'(x)==,∵x>0,∴当00,f(x)单调递增;当3时,f'(x)>0,f(x)单调递增.故当x=时,f(x)取得极大值,也是最大值,即f(x)max=f=,∴m≥2.故选D.
【自我检测】
1.C [解析] 函数f(x)的定义域为R,由f(x)=ex+e-x得f'(x)=ex-e-x,令f'(x)>0,得x>0,故函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上是增函数,无极值点,故选C.
2.B [解析] f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,解得x=±1,可以判断当x=1时,函数f(x)取得极小值,∴得a∈[-,1),故选B.
3.C [解析] ∵f(x)=x3+ax2+bx+a2,∴f'(x)=3x2+2ax+b.由题意得即解得或当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故函数f(x)单调递增,无极值,不符合题意.
经检验,a=4,b=-11时符合题意,∴a=4.故选C.
4.B [解析] 由已知得,方程a-x2=-2ln x,即-a=2ln x-x2在,e上有解.设f(x)=2ln x-x2,则f'(x)=-2x=,∵≤x≤e,∴f(x)在x=1处有唯一的极值点,又f=-2-,f(e)=2-e2,f(x)极大值=f(1)=-1,且f(e)
故g(x)=x3++e2x,g'(x)=3x2++e2>0,故函数g(x)在[0,e]上是增函数,g(x)max=g(e)=2e3+1.故选D.
[备选理由] 例1是对极值与三角函数知识交汇的考查,具有一定难度;例2也是对极值的考查,但如果按照一般思路解题较麻烦,如果利用特殊值去验证,根据极值的知识,很容易解决;例3利用函数的图像研究导函数的图像,需要根据图像得到函数的单调性,进而得到导函数的符号,再结合所给选项可得答案.
例1 [配例4使用] 设函数f(x)=+sin x的所有正的极小值点从小到大排列构成的数列为{xn},则x1= ( )
A. B.
C. D.
[解析] D f'(x)=+cos x,令f'(x)=0,得cos x=-,结合选项,得x=或x=.在x=附近,当x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,所以x=是函数f(x)的极大值点,不符合题意;在x=附近,当x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以x=是函数f(x)的极小值点,符合题意.所以数列{xn}中,x1=.故选D.
例2 [配例4使用] 已知a∈R,若f(x)=x+ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0 B.a≤1
C.a>1 D.a≤0
[解析] A 当a=0时,f(x)=xex,f'(x)=(1+x)ex>0在(0,1)上恒成立,所以f(x)在(0,1)上单调递增,没有极值点,故排除B,D.当a=1时,f(x)=x+ex,f'(x)=1+x+-ex=·ex,令g(x)=x3+x2+x-1,则g'(x)=3x2+2x+1>0在(0,1)上恒成立,故函数g(x)在(0,1)上单调递增,又g(0)=-1,g(1)=2,所以g(0)·g(1)<0,所以在(0,1)上,g(x)有且仅有1个零点,即f(x)有且仅有1个极值点,故a=1符合题意,排除C.故选A.
例3 [配例2使用] 如果函数y=f(x)的图像如图所示,那么导函数y=f'(x)的图像可能是 ( )
A B C D
[解析] A 由函数y=f(x)的图像可得,函数y=f(x)在定义域上先增、再减、再增、再减,因此导函数的符号为先正、再负、再正、再负.结合选项可得,A符合题意.
1.【引·全国卷】
[2015·全国卷Ⅱ] 已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a= .
【荐·地方卷】
[2016·山东卷] 若函数y=f(x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是 ( )
A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3
[试做] _________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________命题角度 曲线的切线问题
(1)解决曲线的切线问题:关键一,搞清楚是在某点处的切线,还是过某点的切线;
关键二,利用导数的几何意义求出曲线在该点处的切线的斜率;
关键三,关注切点的双重性,即切点既在切线上,也在曲线上.
(2)直线与曲线有一个公共点不能说明直线与曲线相切,反之,直线是曲线的切线,也不能说明直线与曲线有一个公共点.
2.(1)[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是 ( )
A.[-1,1] B.-1,
C.-, D.-1,-
(2)[2014·全国卷Ⅱ] 若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上单调递增,则k的取值范围是 ( )
A.(-∞,-2] B.(-∞,-1]
C.[2,+∞) D.[1,+∞)
[试做] _________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________命题角度 利用导数解决函数单调性问题
(1)利用导数解决函数单调性问题:
关键一,对函数求导;
关键二,令f'(x)>0,f'(x)<0,解不等式即可.
(2)给出单调区间求参数问题:
关键一,对函数求导;
关键二,利用单调递增,导数值恒大于或等于0,单调递减,导数值恒小于或等于0构造新不等式;
关键三,分离参数,解不等式.
注意:端点的取值是否满足条件.
3.[2013·全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,下列结论中错误的是 ( )
A.∃x0∈R,f(x0)=0
B.函数y=f(x)的图像是中心对称图形
C.若x0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x0)单调递减
D.若x0是f(x)的极值点,则f'(x0)=0
[试做] _________________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________命题角度 解决三次函数图像和性质问题
(1)解决三次函数图像和性质问题:关键一,根据导函数图像画出三次函数的大致图像;
关键二,若三次函数y=f(x)的导函数为y=ax2+bx+c,当Δ≤0时,y=f(x)无极值,当Δ>0时,y=f(x)有2个极值.
(2)(特殊值法)取特殊值,例如f(x)=x3+x2+x+1.
小题1导数的几何意义
1 (1)曲线y=x+ln x在点M(1,1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积是 ( )
A. B. C. D.
(2)已知函数f(x)=ex-x2的图像在点(1,f(1))处的切线过点(0,a),则a= .
[听课笔记] ___________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________【考场点拨】
应用导数的几何意义解题时应注意:(1)f'(x0)与f(x0)的区别与联系,f(x0)表示函数f(x)在x=x0时的函数值,是一个常数,f'(x0)表示导函数f'(x)在x=x0处的函数值;(2)函数在某点的导数值就是对应曲线在该点处切线的斜率;(3)注意切点既在原函数的图像上也在切线上这一条件的应用.
【自我检测】
1.若曲线y=的一条切线经过点(4,0),则此切线的斜率为 ( )
A. B.3
C.3 D.4
2.已知曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是y=-3x+4,则f(2)+f'(2)的值为 ( )
A.5 B.-5
C.3 D.-3
3.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,若曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0,,则点P横坐标的取值范围为 ( )
A.-1,- B.[-1,0]
C.[0,1] D.,1
4.设函数f(x)=g(x)+x2,若曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 .
小题2与导数有关的函数图像问题
2 (1)函数f(x)=-x(x∈[-π,π])的图像大致是 ( )
A B C D
图M1-4-1
(2)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf'(x)的图像可能是 ( )
A B C D
图M1-4-2
[听课笔记] ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________【考场点拨】
高考中与导数有关的函数图像问题的关注点:
(1)与函数图像相关的问题,常利用导数的几何意义、单调性、极值点等知识去解决,一般是利用排除法解决.
(2)导函数在某个区间D上有f'(x)>0 恒成立,则导函数的图像在区间D上恒在x轴的上方;导函数在某个区间D上有f'(x)<0 恒成立,则导函数的图像在区间D上恒在x轴的下方.|f'(x)|的大小决定了f(x)变化的快慢.
【自我检测】
1.[2018·全国卷Ⅲ] 函数y=-x4+x2+2的图像大致为 ( )
A B C D
图M1-4-3
2.若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图像可能是 ( )
A B C D
图M1-4-4
3.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图像如图M1-4-5所示,则= .
图M1-4-5
小题3利用导数研究函数的单调性
3 (1)对于R上可导的任意函数f(x),若满足(2-x)·f'(x)≤0,则必有 ( )
A.f(1)+f(3)<2f(2) B.f(1)+f(3)≤2f(2)
C.f(1)+f(3)>2f(2) D.f(1)+f(3)≥2f(2)
(2)若f(x)=x3-ax2+x在(-∞,+∞)上不是单调函数,则a的取值范围是 .
[听课笔记] ___________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________【考场点拨】
高考中利用导数研究函数单调性的关注点:
常见题型有以下三种:
(1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f'(x)>0,f'(x)<0的解集,但是要注意定义域.
(2) 解决含参数的函数问题及不等式问题要注意两个转化:一是利用导数解决含有参数的函数单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题,要注意分类讨论和数形结合思想的应用;二是将不等式的证明、方程的根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理.
(3)已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决.
【自我检测】
1.函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为 ( )
A.-∞,-∪0,
B.-,0∪,+∞
C.0,
D.,+∞
2.已知定义在R上的函数f(x)=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)
B.[-1,0)∪(0,1]
C.(-1,1)
D.(-1,0)∪(0,1)
3.设f(x),g(x)是R上的可导函数,f'(x),g'(x)分别为f(x),g(x)的导函数,且满足f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0,则当a
B.f(x)g(a)>f(a)g(x)
C.f(x)g(x)>f(b)g(b)
D.f(x)g(x)>f(b)g(a)
4.若函数f(x)=2x2-ln x在区间(k-1,k+1)上有定义且不是单调函数,则实数k的取值范围为 .
小题4利用导数研究函数的极值、最值
4 若关于x的不等式≥6-4x在(0,+∞)上恒成立,则实数m的取值范围是 ( )
A.-∞,2 B.-∞,2
C.2,+∞ D.2,+∞
[听课笔记] ___________________________________________________________________
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________________________________________________________________________________【考场点拨】
高考中求极值、最值的易失分点:
(1)对于含参数函数的极值、最值问题,要注意分类讨论思想的应用.注意导函数的零点不一定是极值点.
(2)在闭区间上图像连续的函数一定存在最大值和最小值,在不是闭区间的情况下,函数在这个区间上的最大值和最小值可能都存在,也可能只存在一个,也可能既无最大值也无最小值;在一个区间上,如果函数只有一个极值点,那么这个极值点就是最值点.
【自我检测】
1.函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上 ( )
A.有极大值 B.有极小值
C.是增函数 D.是减函数
2.若函数f(x)=x3-3x在(a,6-a2]上有极小值,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-,1) B.[-,1)
C.[-2,1) D.(-2,1)
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a= ( )
A.4或-3 B.4或-11
C.4 D.-3
4.已知函数g(x)=a-x2≤x≤e,e为自然对数的底数与h(x)=2ln x的图像上存在关于x轴对称的点,则实数a的取值范围是 ( )
A.1,+2 B.[1,e2-2]
C.+2,e2-2 D.[e2-2,+∞)
5.已知函数f(x)=ln x+2ex2,g(x)=x3+kx(k∈R),若函数y=f(x)-g(x)只有1个零点,则函数g(x)在[0,e]上的最大值为 ( )
A.0 B.e3+1
C.2e3+ D.2e3+1
第4讲 导数的简单应用
典型真题研析
1.【引·全国卷】
8 [解析] 对函数y=x+ln x求导得y'=1+,函数图像在点(1,1)处的切线的斜率k=y'|x=1=2,所以在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,又该切线也为函数y=ax2+(a+2)x+1的切线,所以由得ax2+ax+2=0,此方程应有唯一解,所以Δ=a2-8a=0,得a=8或a=0(舍).
【荐·地方卷】
A [解析] 由函数图像上两点处的切线互相垂直可知,函数在两点处的导数之积为-1.对于A,y'=(sin x)'=cos x,存在x1,x2使cos x1·cos x2=-1.
2.(1)C (2)D [解析] (1)方法一:对函数f(x)求导得f'(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+,因为函数f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0,即-cos2x+acos x+≥0恒成立.设t=cos x∈[-1,1],则g(t)=4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,所以有解得-≤a≤.
方法二:取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f'(x)=1-cos 2x-cos x,但f'(0)=1--1=-<0,不满足f(x)在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D,故选C.
(2)f'(x)=k-=,且x>0,由题可知f'(x)≥0,即得kx-1≥0,得x≥(k<0时不满足).因为函数f(x)在区间(1,+∞)上单调递增,所以≤1,解得k≥1.
3.C [解析] x→-∞时,f(x)<0,x→+∞时,f(x)>0,又f(x)连续,∃x0∈R,f(x0)=0,A正确.通过平移变换,函数可以化为f(x)=x3+c,从而函数y=f(x)的图像是中心对称图形,B正确.若x0是f(x)的极小值点,可能还有极大值点x1,若x1
小题1
例1 (1)A (2)1 [解析] (1)y'=1+,所以切线的斜率为2,切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.直线2x-y-1=0与两坐标轴的交点分别为,0,(0,-1),所以所求三角形的面积为××1=.故选A.
(2)由题意知f(1)=e-1 ,f'(x)=ex-2x,所以f'(1)=e-2,所以f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-(e-1)=(e-2)(x-1),化简得y=(e-2)x+1,将点(0,a)代入切线方程,得a=1.
【自我检测】
1.C [解析] y=的导数为y'=,设切点为(m,n),则n=,且=,解得m=12,故切线的斜率为×=3,故选C.
2.B [解析] f(2)=-3×2+4=-2,因为曲线y=f(x)在x=2处的切线方程是y=-3x+4,所以f'(2)=-3,
所以f(2)+f'(2)=-2+(-3)=-5,故选B.
3.A [解析] 设P(x0,y0),切线的倾斜角为α,因为y'=2x+2,所以切线的斜率k=tan α=2x0+2∈[0,1],可得x0∈-1,-,故选A.
4.4 [解析] 因为曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,所以g'(1)=2,又f'(1)=g'(1)+2×1=4,所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为4.
小题2
例2 (1)B (2)C [解析] (1)函数f(x)=-x=-xecos x(x∈[-π,π])是奇函数,故排除A,C;当x>0时,f'(x)=ecos x
(xsin x-1),令ecos x(xsin x-1)=0,可得xsin x=1,当x=时,sin=<1,当x=时,sin>1,所以xsin x=1的一个根x1落在,内,并且x∈(0,x1)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,当x=时,sin=>1,当x=π时,πsin π=0<1,所以xsin x=1的一个根x2落在,π内,并且x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,f(x)是增函数,x∈(x2,π)时,f'(x)<0,f(x)是减函数,所以排除D.故选B.
(2)∵函数f(x)在x=-2处取得极小值,∴f'(-2)=0,且函数f(x)在x=-2左侧附近为减函数,在x=-2右侧附近为增函数,即当x<-2时,f'(x)<0,当x>-2时,f'(x)>0,从而当x<-2时,y=xf'(x)>0,当-2
【自我检测】
1.D [解析] y'=-4x3+2x=-2x(x-1)(x+1),易知当x>0时,函数y=-x4+x2+2在0,上单调递增,在,+∞上单调递减,又函数y=-x4+x2+2为偶函数,故选D.
2.A [解析] ∵函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,∴函数y=f(x)图像的切线斜率越来越大.A中函数图像的切线斜率越来越大,满足条件;B中函数图像的切线斜率越来越小,不满足条件;C中函数图像的切线斜率是常数,不满足条件;D中函数图像的切线斜率先越来越大,然后越来越小,不满足条件.故选A.
3.1 [解析] 由函数的图像可知,x=2为函数的极大值点,x=-1为函数的极小值点,即2,-1是f'(x)=0的两个根.由f(x)=ax3+bx2+cx+d得f'(x)=3ax2+2bx+c,由f'(x)=3ax2+2bx+c=0,得2+(-1)=-=1,-1×2==-2,即c=-6a,2b=-3a,故f'(x)=3ax2+2bx+c=3ax2-3ax-6a=3a(x-2)(x+1),则===1.
小题3
例3 (1)D (2)(-∞,-1)∪(1,+∞) [解析] (1)因为(2-x)f'(x)≤0,所以当x≤2时,f'(x)≤0,所以f(1)≥f(2),当x>2时,f'(x)≥0,所以f(3)≥f(2),则f(1)+f(3)≥2f(2).故选D.
(2)f'(x)=x2-2ax+1,由于函数f(x)=x3-ax2+x在(-∞,+∞)上不是单调函数,所以方程x2-2ax+1=0有2个实数根,可得Δ=4a2-4>0,解得a>1或a<-1.
【自我检测】
1.D [解析] 函数y=3x2-2ln x的定义域为(0,+∞),由题意知y'=6x-=,由f'(x)>0,解得x>,故函数y=3x2-2ln x的单调递增区间为,+∞,故选D.
2.D [解析] 根据题意,函数f(x)=ax3+x2+ax+1,其导函数f'(x)=ax2+2x+a.若函数f(x)=ax3+x2+ax+1有三个不同的单调区间,则f'(x)=ax2+2x+a有2个不同零点,则有Δ=4-4a2>0,且a≠0,可得-1
4.1, [解析] 因为函数f(x)在(k-1,k+1)上有定义,所以k-1≥0,得k≥1.又f'(x)=4x-,令4x-=0,得x=或x=-(舍去),所以x=是函数f(x)的极值点,又f(x)在(k-1,k+1)上不单调,所以∈(k-1,k+1),即k-1<
小题4
例4 D [解析] 由不等式≥6-4x在(0,+∞)上恒成立,可得m≥.设f(x)=(x>0),
则f'(x)==,∵x>0,∴当0
【自我检测】
1.C [解析] 函数f(x)的定义域为R,由f(x)=ex+e-x得f'(x)=ex-e-x,令f'(x)>0,得x>0,故函数f(x)=ex+e-x(e为自然对数的底数)在(0,+∞)上是增函数,无极值点,故选C.
2.B [解析] f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,解得x=±1,可以判断当x=1时,函数f(x)取得极小值,∴得a∈[-,1),故选B.
3.C [解析] ∵f(x)=x3+ax2+bx+a2,∴f'(x)=3x2+2ax+b.由题意得即解得或当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故函数f(x)单调递增,无极值,不符合题意.
经检验,a=4,b=-11时符合题意,∴a=4.故选C.
4.B [解析] 由已知得,方程a-x2=-2ln x,即-a=2ln x-x2在,e上有解.设f(x)=2ln x-x2,则f'(x)=-2x=,∵≤x≤e,∴f(x)在x=1处有唯一的极值点,又f=-2-,f(e)=2-e2,f(x)极大值=f(1)=-1,且f(e)
故g(x)=x3++e2x,g'(x)=3x2++e2>0,故函数g(x)在[0,e]上是增函数,g(x)max=g(e)=2e3+1.故选D.
[备选理由] 例1是对极值与三角函数知识交汇的考查,具有一定难度;例2也是对极值的考查,但如果按照一般思路解题较麻烦,如果利用特殊值去验证,根据极值的知识,很容易解决;例3利用函数的图像研究导函数的图像,需要根据图像得到函数的单调性,进而得到导函数的符号,再结合所给选项可得答案.
例1 [配例4使用] 设函数f(x)=+sin x的所有正的极小值点从小到大排列构成的数列为{xn},则x1= ( )
A. B.
C. D.
[解析] D f'(x)=+cos x,令f'(x)=0,得cos x=-,结合选项,得x=或x=.在x=附近,当x<时,f'(x)>0,当x>时,f'(x)<0,所以x=是函数f(x)的极大值点,不符合题意;在x=附近,当x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0,所以x=是函数f(x)的极小值点,符合题意.所以数列{xn}中,x1=.故选D.
例2 [配例4使用] 已知a∈R,若f(x)=x+ex在区间(0,1)上有且只有一个极值点,则a的取值范围是 ( )
A.a>0 B.a≤1
C.a>1 D.a≤0
[解析] A 当a=0时,f(x)=xex,f'(x)=(1+x)ex>0在(0,1)上恒成立,所以f(x)在(0,1)上单调递增,没有极值点,故排除B,D.当a=1时,f(x)=x+ex,f'(x)=1+x+-ex=·ex,令g(x)=x3+x2+x-1,则g'(x)=3x2+2x+1>0在(0,1)上恒成立,故函数g(x)在(0,1)上单调递增,又g(0)=-1,g(1)=2,所以g(0)·g(1)<0,所以在(0,1)上,g(x)有且仅有1个零点,即f(x)有且仅有1个极值点,故a=1符合题意,排除C.故选A.
例3 [配例2使用] 如果函数y=f(x)的图像如图所示,那么导函数y=f'(x)的图像可能是 ( )
A B C D
[解析] A 由函数y=f(x)的图像可得,函数y=f(x)在定义域上先增、再减、再增、再减,因此导函数的符号为先正、再负、再正、再负.结合选项可得,A符合题意.
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