2019届二轮复习第6讲填空题技法攻略学案（全国通用）

第六讲　填空题技法攻略

技法指导

方法诠释
直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．
适用范围
涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目.
【例1】　(1)(2018·合肥质检)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝ .
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为 ．
[解题指导]　(1)→
(2)→
→
[解析]　(1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.

(2)不妨设点M、N在渐近线y＝x上，如图，△AMN为等边三角形，且|AM|＝b，
则A点到渐近线y＝x的距离为b，又将y＝x变形为一般形式为bx－ay＝0，则A(a,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝＝，所以＝b，即＝，
所以双曲线的离心率e＝＝.
[答案]　(1)－6　(2)



　直接法求解填空题的关键
利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
[对点训练]
1．已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是 ．
[解析]　设等差数列{an}的公差为d，由S5＝10，知S5＝5a1＋d＝10，得a1＋2d＝2，即a1＝2－2D．所以a2＝a1＋d＝2－d，代入a1＋a＝－3，化简得d2－6d＋9＝0，所以d＝3，a1＝－4.故a9＝a1＋8d＝－4＋24＝20.
[答案]　20
2．(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，则φ的值是 ．
[解析]　∵函数y＝sin(2x＋φ)的图象关于直线x＝对称，∴x＝时，函数取得最大值或最小值，
∴sin＝±1.
∴＋φ＝kπ＋(k∈ )，
∴φ＝kπ－(k∈ )，
又－f′(x)，且y＝f(x)－1为奇函数，则不等式f(x)0}　(2)(3n－2)·3n



　构造法解填空题的技巧
构造法解填空题，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它 于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．

[对点训练]
7.如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于 ．

[解析]　

如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以CD＝＝2R，所以R＝，故球O的体积V＝＝π.
[答案]　π
8．(2018·重庆一中模拟)春天是鼻炎和感冒的高发期，某人在春季里鼻炎发作的概率为0.8，鼻炎发作且感冒的概率为0.6，则此人在鼻炎发作的条件下，感冒的概率为 ．
[解析]　设某人鼻炎发作为事件A，某人感冒发作为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.6，∴P(B|A)＝＝＝0.75.
[答案]　0.75

方法诠释
做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．

适用范围
适用于与正整数n有关和逻辑推理方面的问题.
【例5】　(1)(2018·山西孝义模拟)有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是 ．
(2)(2018·西安模拟)观察下列各式：
C＝40；
C＋C＝41；
C＋C＋C＝42；
C＋C＋C＋C＝43；
……
照此规律，当n∈N 时，
C＋C＋C＋…＋C＝ .

[解析]　(1)若1号是第1名，则甲错，乙对，丙对，丁对，不符合题意；
若2号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若3号是第1名，则甲对，乙对，丙错，丁错，不符合题意；
若4号是第1名，则甲错，乙对，丙错，丁对，不符合题意；
若5号是第1名，则甲对，乙对，丙对，丁错，不符合题意；
若6号是第1名，则甲错，乙错，丙对，丁错，符合题意．
故猜对者是丙．
(2)由题意知C＋C＋C＋…＋C＝4n－1.
[答案]　(1)丙　(2)4n－1



　归纳推理法求解填空题的技巧
归纳推理法多用于新定义型填空题，只要能读懂题意，认真归纳类比即可得出结论，但在推理过程中要严格按照定义的法则或相关的定理进行，关键是找准归纳的对象．

[对点训练]
9．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是 ．
[解析]　观察表中数据，并计算F＋V分别为11,12,14，又其对应E分别为9,10,12，容易观察并猜想F＋V－E＝2.
[答案]　F＋V－E＝2
10．(2018·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N ,1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝ .
[解析]　∵1＝12,1＋2＋1＝22,1＋2＋3＋2＋1＝32,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝42，…，∴归纳可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.
[答案]　n2

方法诠释
多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．

适用范围
适用于从多个命题或结论中选出满足条件的命题或结论.
【例6】　(1)(2017·全国卷Ⅲ)a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最大值为60°.
其中正确的是 ．(填写所有正确结论的编号)
(2)下列结论：
①若x>0，y>0，则“x＋2y＝2”成立的一个充分不必要条件是“x＝2，且y＝1”；
②存在a>1，x>0，使得ax0，则f(x)在[a，b)上恒正；
④在锐角△ABC中，若sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，则必有A＝2B；
⑤平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1的点P的轨迹方程为y2＝4x.
其中正确结论的序号为 ．(填写所有正确的结论序号)
[解题指导]　(1)→→
(2)→
[解析]　(1)

由题意，AB是以AC为轴，BC为底面半径的圆锥的母线，又AC⊥a，AC⊥b，AC⊥圆锥底面，∴在底面内可以过点B，作BD∥a，交底面圆C于点D，如图所示，连接DE，则DE⊥BD，∴DE∥b，连接AD，设BC＝1，在等腰△ABD中，AB＝AD＝，当直线AB与a成60°角时，∠ABD＝60°，故BD＝，又在Rt△BDE中，BE＝2，∴DE＝，
过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连接AF，EF，∴BF＝DE＝，
∴△ABF为等边三角形，∴∠ABF＝60°，即AB与b成60°角，故②正确，①错误．
由最小角定理可知③正确；很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，∴直线AB与a所成角的最大值为90°，④错误．
∴正确的说法为②③.
(2)对于①，显然当x＝2且y＝1时，有x＋2y＝2成立，但当x＋2y＝2时，并不一定能得到x＝2和y＝1，故①正确；对于②，取a＝，x＝3，有()3OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 ．

[解析]　

要满足各个截面使分得的两个三棱锥体积相等，则需满足与截面对应的交点E，F，G分别为中点即可．故可以将三条棱长分别取为OA＝6，OB＝4，OC＝2，如图，则可计算S1＝3，S2＝2，S3＝，故S3