2019届二轮复习第6招数列函数性（单调性与周期性）学案（江苏专用）

数列函数性（单调性与周期性）一、函数的单调性与单调数列函数的单调性的证明一般有两类，定义法或者导数法；而对于数列而言，证明其单调性或求最大最小值，常见的思路是利用与，及与的大小关系来判断，除此之外，还可以用函数的一些思路来证明数列的单调性.例1、求数列的最大项解析：此题如果用常规的求最大项的方法，无论是“作差”或者“作商”，计算量都会比较大，而若是考虑其函数性，将数列看做函数，那么可以看出来，这个函数化简后，分母其实是一个“勾函数”的形式，显然在时取得最大值。当然，对于数列而言，我们的自变量必须为正整数，所以必须对附近的两个正整数进行代入检验，可得时，都为最大项。例2、已知数列是以为首项，为公比的等比数列，令若中每一项总小于它后面的项，求的范围。解析：，那么即对于恒成立。即对于恒成立。①时，上述不等式等价于即，显然成立，所以；②时，上述不等式等价于，设，显然这个是单调递增函数，时，有，所以综上，这里需要注意的是：函数单调是数列单调的充分不必要条件，用函数的单调性处理数列的单调性问题时，必须检验其必要性。如下题：例3、数列的通项公式为，若中每一项总小于它后面的项，求的取值范围。解析：此题不等价于“在上单调增”。对于此类题目建议使用“作差”去判断的范围，即对于恒成立。如果要从函数的单调性的角度来思考，本题应该等价于以下命题“在上单调增，且”答案为。例4、（2014 南京1模20题）设等差数列的前项和为，已知，.（1）求；（2）若从中抽取一个公比为的等比数列，其中，且，.①当取最小值时，求的通项公式；②若关于的不等式有解，试求的值.答案：（1）（2）①②解析：：②因为，所以当不是自然数时，不全是正整数，不合题意，所以不等式有解，即有解.令发现，即都有成立，即时都有解.令，.设，可得在上单调增,得，即，，，是递减数列中最大项为，若，则对应的符合要求；若，则不存在这样的令，，即都有成立，即时都有解.当时，，则恒成立，不存在这样的.故可取的值为.例5、使不等式对一切正整数都成立的最小正整数的值为                    .解析：设，，所以单调减，得，，得符合要求的.此题单调性的运用是利用两项作差得到的，要注意的是的项数不能数错.例6、已知数列满足：，若数列的最小项为1，则的值为          .解析，设，则，列表可得极小值为，考虑到数列的下标必须为正整数，所以，，，显然最小，可得. 二、函数的周期性与周期数列    若数列满足以下条件，请求出数列的周期①       恒成立②       恒成立③       若且，④       若,且⑤       若，且⑥       ⑦       ⑧       ，⑨       ，，，解析：①　.②　.③　得.本结论可以与抽象函数中，得结合理解.④　得.本结论可以与抽象函数中，得结合理解.⑤　得本结论可以与抽象函数中，得结合理解.⑥　，可以结合进行理解⑦　,作差可得，得，即或者，代入得，即，矛盾，舍去.故.⑧　，作差得，又，得即.⑨证明方法都是类似的，仅以第一个为例：法一、，故，即.法二、可以构造，得，根据三角函数的性质，可得，即. 例7、已知数列满足，它的前项和为.若，则的值为         .解析：，得，故例8、已知数列满足且 ，求          .解析：，，做差得，即，三、其他类型例9、已知正项数列满足，证明.解析：此题常规方法是用数学归纳法，实际上，如果从函数的角度来出发，那么此题可以用另一方法解决.具体如下：把看做函数，等号当且仅当时，取等号时有即数列为的常数列，显然不符合，所以，又即，得证. 例10、设数列为等差数列，数列为等比数列．若，，且，则数列的公比为       ．解析：这道题目是使用构造法构造一元二次方程去解决的.如题，有.，那么可得，是方程或者的根，显然第一个解是不符合，舍去，得；又，又可得.例11、设…，均为正数，证明：若……，则.解：构造函数，定义域为，令，列表可得在上递增，在上递减，故函数在处取得最大值，当时有即，∵，∴∵∴即.例12、等比数列中，，函数，则        .解析：考查多项式函数的导数公式，重点考查学生创新意识，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法。考虑到求导中，含有项均取0，则只与函数的一次项有关；得：.