2019届二轮复习第8招直线遇圆锥曲线突破在点线距离学案（江苏专用）

直线遇圆锥曲线   突破在点线距离近几年来直线与圆锥曲线的位置关系在高考中占据高考热点考点，且填空也有涉及，有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及线段中点、弦长等。分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法，对称的方法及韦达定理等。1、直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系，从几何角度可分为三类：无公共点，有且仅有一个公共点，有两个不同的公共点。直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过代数方法即解方程组的办法来研究。因为方程组解的个数与交点的个数是一样的。直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离。对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，同样也不是相切。这三种位置关系的判定条件可归纳为：设直线：，圆锥曲线C：，由，消元可得：，。， （1）相交；               （2）相切；               （3）相离。注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件。2、直线与圆锥曲线相交的弦长公式有关弦长的问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系“设而不求”，有关焦点弦长的问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简便运算。（1）斜率为的直线与圆锥曲线交于两点，，则所得弦长或，其中求与时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：，。（2）当斜率不存在时，可求出交点坐标，直接运算（利用两点间距离公式）。3、弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算。考点1：直线与圆锥曲线的相交弦问题【例1】在平面直角坐标系中，已知椭圆：过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）直线的斜率为，直线与椭圆交于点，两点，求△面积的最大值.【解析】（1），，又，，，故所求椭圆的方程为.（2）设的方程为，点，，联立，整理得，判别式，即.又，则，点到直线的距离.因此，当且仅当即时，等号成立. 故的面积最大值为2.【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知直线：，抛物线：.（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；（2）已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和.求证：线段的中点坐标为；求的取值范围.【解析】（1）：，与轴的交点坐标为，即抛物线的焦点为，，. 抛物线的方程为.（2）证明：设点，，则，即，，又、关于对称，，即，，又的中点在上，.线段的中点坐标为.解：的中点为，，即，，即关于的方程，有两个不相等的实数根. ，即，解得，故所求的取值范围为.考点2：圆锥曲线中的存在性问题【例3】已知点，，动点满足.（1）求的轨迹的方程；（2）是否存在过点的直线与曲线相交于两点，并且曲线存在点，使四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据椭圆定义可得，，，所以轨迹的方程为. （2）假设存在过点的直线. 设，，由题意可知的斜率一定不为0，故不妨设：，代入椭圆方程并整理得，显然，则假设存在点，使得四边形为平行四边形，其充要条件为，则点的坐标为. 由点在椭圆上，即. 整理得. 又在椭圆上，即，. 故.将代入得，有解得，故直线的方程是，即.【例4】已知椭圆：的离心率位，点和点都在椭圆上，直线交轴于点.（1）求椭圆的方程，并求点的坐标（用表示）；、（2）设为原点，点与点关于轴对称，直线交轴于点. 轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.【解析】（1）由题意得，解得，故椭圆的方程为. 和点，，设，直线的方程为，时，，.（2）点与点关于轴对称，，点.  直线交轴于点，. 存在点，使得，设，，，即，，，或.故轴上存在点，使得，点的坐标为或.