2019届二轮复习第9讲　三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

第9讲　三角恒等变换与解三角形1.(1)[2015·全国卷Ⅰ] 已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.①若a=b,求cos B; ②若B=90°,且a=, 求△ABC的面积.(2)[2015·全国卷Ⅱ] △ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.①求;②若∠BAC=60°,求∠B.[试做] _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________命题角度　解三角形的问题(1)近五年的高考试题中,经常出现的题型有:正弦定理、余弦定理与三角变换的综合;正弦定理、余弦定理与三角形面积的综合;正弦定理、余弦定理与三角变换及三角形面积的综合.(2)解三角形问题的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.(3)解三角形问题的总体思路是转化思想和消元.解答1三角形基本量的求解1 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A.(1)若a=2,b=3,求边c的长;(2)若C=,求角B的大小.[听课笔记] __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________2 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且2ccos B=2a-b.(1)求角C的大小;(2)当c=3时,求a+b的取值范围.[听课笔记] __________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果.解答2与三角形面积有关的问题3 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足asin B+bcos(B+C)=0,a=.(1)求角A的大小;(2)若b=2,求△ABC的面积.[听课笔记]  _________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】高考中与三角形面积有关问题的解题策略:(1)三角形的面积问题,归根结底是解三角形问题,有时和其他知识综合考查,如求面积最大值(最小值)时,常与函数、基本不等式等结合考查.(2)在解与三角形面积有关的问题时,要熟记30°,45°,60°等特殊角的三角函数值,以便在解题中应用.【自我检测】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a·cos C=(2b-c)cos A.(1)求角A的大小;(2)若a=2,求△ABC面积的最大值.   解答3以平面几何为载体的解三角形问题4 如图M2-9-1,在四边形ABCD中,∠DAB=,AD∶AB=2∶3,BD=,AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值;(2)若∠BCD=,求CD的长.图M2-9-1[听课笔记]  _______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________【考场点拨】以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分用好平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化为三角形问题去求;四是善于用好三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于或等于,从而可以确定角或边的范围.【自我检测】如图M2-9-2,在△ABC中,B=,BC=2.(1)若AC=3,求边AB的长.(2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC,E为垂足,ED=,求角A的大小.图M2-9-2        模块二　三角函数与平面向量第9讲　三角恒等变换与解三角形 典型真题研析1.(1)解:①由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以可得b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B==.②由①知b2=2ac.因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,得c=a=,所以△ABC的面积为1.(2)解:①由正弦定理得=,=.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以==.②因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B.由①知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°. 考点考法探究解答1 例1　解:(1)由c-b=2bcos A及a2=b2+c2-2bccos A,得=,∴a2=b2+bc,代入a=2,b=3,得c=5.(2)由c-b=2bcos A及正弦定理,得sin C-sin B=2sin Bcos A,∵C=,∴1-sin B=2sin Bcos-B,即2sin2B+sin B-1=0,解得sin B=或sin B=-1(舍),又0<B<,∴B=. 例2　解:(1)由正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A-sin B,又A=π-(B+C),∴2sin Ccos B=2sin(B+C)-sin B,即2sin Ccos B=2sin Bcos C+2cos Bsin C-sin B,∴2sin Bcos C=sin B,又∵sin B≠0,∴cos C=,又0<C<π,∴C=.(2)由正弦定理==,得a=2sin A,b=2sin B,∴a+b=2(sin A+sin B)=2sin A+sinA+=2sin A+cos A=6sinA+.∵A∈0,,∴A+∈,,∴a+b∈(3,6].解答2 例3　解:(1)由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0,∴sin A=cos A,∵cos A≠0,∴tan A=,∴A=.(2)∵A=,cos A=,∴=,∴c=5,∴△ABC的面积S=bcsin A=.【自我检测】解:(1)由正弦定理可得sin Acos C=2sin Bcos A-sin Ccos A,从而可得sin(A+C)=2sin Bcos A,即sin B=2sin Bcos A.又B为三角形内角,所以sin B≠0,于是cos A=,又A为三角形内角,所以A=.(2)由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得4=b2+c2-2bc·≥2bc-bc,当且仅当b=c时等号成立,所以bc≤4(2+),所以△ABC的面积S=bcsin A≤2+,故△ABC面积的最大值为2+.解答3 例4　解:(1)∵AD∶AB=2∶3,∴可设AD=2k,AB=3k,k>0.又BD=,∠DAB=,∴由余弦定理得()2=(3k)2+(2k)2-2×3k×2kcos,解得k=1,∴AD=2,AB=3.由正弦定理得sin∠ABD===.(2)∵AB⊥BC,∴cos∠DBC=sin∠ABD=,∴sin∠DBC=,∴=,∴CD==.【自我检测】解:(1)设AB=x(x>0),则由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos B,即32=x2+22-2x·2cos,解得x=+1(负值舍去),所以AB=+1.(2)因为ED=,所以AD=DC==.在△BCD中,由正弦定理可得=,因为∠BDC=2A,所以=,所以cos A=,所以A=. [备选理由] 用余弦定理判断三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形是重要的应用,备用例1就是利用余弦定理解决锐角三角形问题;有关三角形的面积问题,一般情况是求三角形的面积,或者是已知三角形的面积求其他元素,关于已知三角形面积之比求其他元素例2没有涉及,备用例2是对例2的补充和拓展,而且思维逻辑性更强.例1　[配例1使用] 在△ABC中,AB=4,AC=6.(1)若16cos A=1,求BC的长及BC边上的高h;(2)若△ABC为锐角三角形,求△ABC的周长的取值范围.解:(1)∵16cos A=1,∴cos A=,∴sin A=.BC==7,由等面积法可得×4×6sin A=×7h,∴h=.(2)设BC=x(x>0),∵△ABC为锐角三角形,∴角A,B,C均为锐角,又AB<AC,∴C<B,则cos A>0,cos B>0,于是得∴2<x<2,故△ABC的周长的取值范围是(10+2,10+2).例2　[配例2使用] 在△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,B=2C,△ABD面积与△ACD面积的比为2∶3.(1)求cos C的值;(2)若AC=,求DC的长.解:(1)因为S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ACD=AC·ADsin∠CAD,所以===,由正弦定理知==,从而=,即=,所以cos C=.(2)方法一:由(1)知cos C=,则sin C===,所以sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2××=,cos B=cos 2C=2cos2C-1=2×2-1=.又由(1)知=,所以AB=.设DC=x(x>0),由==,得BD=x.在△ADC中,由余弦定理得AD2=AC2+DC2-2AC·DCcos C,即AD2=2+x2-2x·,整理得AD2=2+x2-x.①在△ABD中,由余弦定理得AD2=AB2+DB2-2AB·DBcos B,即AD2=+x2-2××x·,整理得AD2=+x2-x,②联立①②得2x2-5x+4=0,解得x=或x=2.因为BC<AB+AC=,所以x<,即x<,所以x=,即DC=.方法二:由(1)知cos C=,所以cos B=cos 2C=2cos2C-1=2×2-1=,sin C===,sin B=sin 2C=2sin Ccos C=2××=,则cos A=-cos(B+C)=-cos Bcos C+sin Bsin C=-×+×=.又由(1)知=,所以AB=. 在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos A,即BC2=2+()2-2×××,得BC=.因为==,所以DC=BC=.