2019届二轮复习第9讲　三角恒等变换与解三角形学案（全国通用）

 第9讲　三角恒等变换与解三角形1.[2018·全国卷Ⅰ] 在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5.(1)求cos∠ADB;(2)若DC=2,求BC. [试做]   2.[2017·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin Bsin C;(2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长.[试做]   3.[2013·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.(1)求B;(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.[试做]   命题角度　利用正、余弦定理解三角形①利用正、余弦定理解三角形的步骤:第一步,利用正、余弦定理进行边角转化;第二步,利用三角恒等变换求边与角;第三步,代入数据求值;第四步,转化过程中要注意转化的方向,审视结果的合理性.②利用公式S△ABC=acsin B=bcsin A=absin C解决三角形面积问题的方法:若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入公式求得面积.③求三角形面积的最值时,一般将面积表示为一个内角的三角函数,利用三角函数的性质求解,或结合基本不等式求解.解答1三角形基本量的求解1 在△ABC中,已知AB=2,C=,点D在AC边上,且∠ADB=.(1)若BD=4,求tan∠ABC;(2)若AD=BC,求△ABC的周长.[听课笔记]     【考场点拨】求解三角形中的边和角等基本量,需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图中标出来,然后确定转化的方向;第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化;第三步:求结果.【自我检测】已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A+csin C=asin C+bsin B.(1)求B;(2)若A=,b=2,求a和c.  解答2与三角形面积有关的问题2 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,且2bcos B=acos C+ccos A.(1)求B;(2)求△ABC面积的最大值.[听课笔记]     【考场点拨】三角形面积的最值问题主要有两种解决方法:一是将面积表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值;二是将面积用三角形某一个角的三角函数表示,结合角的范围确定三角形面积的最值.【自我检测】已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且满足(2a-c)cos B=bcos C.(1)求B;(2)若△ABC的面积为,且b=,求a+c的值.  解答3以平面几何为载体的解三角形问题3 如图M2-9-1所示,已知在△ABC中,B=,BC=2.图M2-9-1(1)若AC=3,求AB的长; (2)若点D在边AB上,AD=DC,DE⊥AC于点E,ED=,求A.[听课笔记]     【考场点拨】解决以平面几何为载体的问题,主要注意以下几方面:一是充分利用平面几何图形的性质;二是出现多个三角形时,从条件较多的三角形突破求解;三是四边形问题要转化到三角形中去求解;四是通过三角形中的不等关系如大边对大角,最大角一定大于等于确定角或边的范围.【自我检测】已知△ABC内接于半径为R的圆,a,b,c分别是△ABC的内角A,B,C的对边,且2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,c=3.(1)求A;(2)若AD是BC边上的中线,AD=,求△ABC的面积.                     第9讲　三角恒等变换与解三角形 典型真题研析1.解:(1)在△ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sin∠ADB=.由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB==.(2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=.在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2×=25,所以BC=5.2.解:(1)由题设得acsin B=,即csin B=,由正弦定理得sin Csin B=.故sin Bsin C=.(2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-,即cos(B+C)=-,所以B+C=,故A=.由题设得bcsin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故△ABC的周长为3+.3.解:(1)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin Csin B.①又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②由①②和C∈(0,π)得sin B=cos B.又B∈(0,π),所以B=.(2)△ABC的面积S=acsin B=ac.由已知及余弦定理得4=a2+c2-2accos .又a2+c2≥2ac,故ac≤,当且仅当a=c时,等号成立.因此△ABC面积的最大值为+1.考点考法探究解答1例1　解:(1)如图所示,因为∠ADB=,C=,所以∠DBC=,则BD=CD.在△BCD中,由余弦定理得,BC2=BD2+CD2-2BD·CD·cos∠BDC,所以BC=CD.因为在△ADB中,AB=2,BD=4,∠ADB=,所以由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即28=AD2+16-4AD,所以AD=6,所以AC=10.在△ABC中,由正弦定理=,得=,解得sin∠ABC=.因为AB=2,AD=6,所以在△ADB中,由AD>AB,得∠ABD>∠ADB=,故∠ABC=∠ABD+∠DBC>+=,所以cos∠ABC=-=-,所以tan∠ABC==-.(2)设CD=x,x>0,则BC=x,从而AD=BC=3x,故AC=AD+DC=4x.在△ABC中,由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·AC·cos,因为AB=2,所以28=(x)2+(4x)2-2x·4x·,解得x=2,所以AC=8,BC=2,故△ABC的周长为AC+BC+AB=8+2+2.【自我检测】解:(1)由已知,根据正弦定理得a2+c2=ac+b2.由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,所以cos B===.因为B∈(0,π),所以B=.(2)由A=,得sin A=sin=sincos+cossin=.由B=,得C=π-(A+B)=,所以a==2×=1+,c==2×=.解答2例2　解:(1)由2bcos B=acos C+ccos A得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=sin B,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos B=,所以B=.(2)方法一:由b=2,B=,根据余弦定理可得ac=a2+c2-4,所以ac=a2+c2-4≥2ac-4,所以ac≤4,当且仅当a=c时,等号成立,从而S△ABC=acsin B≤×4×=,故△ABC面积的最大值为.方法二:因为====,所以a=sin A,c=sin C,所以S△ABC=acsin B=×sin A·sin C·sin B=sin Asin=sin+,因为A∈,所以当2A-=,即A=时,S△ABC取得最大值,最大值为,故△ABC面积的最大值为.【自我检测】解:(1)∵A+B+C=π,即C+B=π-A,∴sin(C+B)=sin(π-A)=sin A.∵(2a-c)cos B=bcos C,∴由正弦定理得(2sin A-sin C)cos B=sin Bcos C,∴2sin Acos B=sin Ccos B+sin Bcos C=sin(C+B)=sin A.∵在△ABC中,0<A<π,∴sin A>0,∴cos B=.又∵0<B<π,∴B=.(2)∵△ABC的面积为,sin B=sin=,∴acsin B=ac=,∴ac=3.∵b=,cos B=cos=,∴由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,即a2+c2-ac=(a+c)2-3ac=(a+c)2-9=3,∴(a+c)2=12,则a+c=2.解答3例3　解:(1)设AB=x(x>0),则在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B,即32=22+x2-2x·2cos,所以x=+1,即AB=+1.(2)因为ED=,DE⊥AC,所以AD=DC==.在△BCD中,由正弦定理可得=,因为∠BDC=2A,所以==.因为A∈(0,π),所以sin A>0,所以cos A=,所以A=.【自我检测】解:(1)由正弦定理及2R(sin2B-sin2A)=(b-c)sin C,得bsin B-asin A=bsin C-csin C,即b2-a2=bc-c2,∴cos A==,∵A∈(0,π),∴A=.(2)以AB,AC为邻边作平行四边形ABEC,则在△ABE中,∠ABE=,AE=.在△ABE中,由余弦定理得AE2=AB2+BE2-2AB·BE·cos,即19-9=AC2-2×3·AC·,∴AC=2,即b=2,故S△ABC=bcsin A=×2×3×=.[备选理由] 三道备用例题都是利用正、余弦定理解三角形问题,涉及三角形中的边、角、面积以及使用基本不等式求最值.例1　[配例1使用] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且+=.(1)求B;(2)若△ABC的面积为,B是钝角,求b的最小值.解:(1)由题意得bcos A+acos B=bsin C,∴由正弦定理得sin Bcos A+cos Bsin A=sin Bsin C,∴sin(A+B)=sin Bsin C,又∵在△ABC中,sin(A+B)=sin C≠0,∴sin B=,∵B∈(0,π),∴B=或.(2)由S△ABC=acsin B=,sin B=,得ac=2,又易知B=,∴b2=a2+c2-2accos B=a2+c2+2≥2ac+2=6,当且仅当a=c时取等号,∴b的最小值为.例2　[配例2使用] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且sin B=2cos2,sin(A-C)=2cos Asin C.(1)求B;(2)若c=2,求△ABC的面积.解:(1)方法一:由sin B=2cos2,得2sincos=2cos2,因为cos≠0,所以sin=cos,即tan=.又因为B∈(0,π),所以=,所以B=.方法二:由sin B=2cos2,得sin B=1+cos B,即sin B-cos B=1,即2sin=1,即sin=.又因为B∈(0,π),所以B-∈,所以B-=,即B=.(2)由sin(A-C)=2cos Asin C,得sin Acos C=3cos Asin C,根据正弦定理和余弦定理得,a·=3··c,即b2=2a2-2c2.由(1)知B=,所以b2=a2+c2-2accos=a2+c2-ac.又因为c=2,所以a=-1,所以S△ABC=acsin B==.例3　[配例3使用] 如图所示,已知在平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,求BD的长度;(2)若∠ADB=30°,求tan θ.解:(1)由题意可知,AD=1.在△ABD中,∠DAB=θ+90°=150°,AB=2,AD=1,由余弦定理可知,BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠DAB=(2)2+12-2×2×1×=19,∴BD=.(2)由题意可知,AD=2cos θ,∠ABD=60°-θ,在△ABD中,由正弦定理可知,=,∴==4,又cos θ≠0,∴=4,∴tan θ=.