2019届二轮复习第8讲　三角恒等变换与正、余弦定理学案（全国通用）

第8讲　三角恒等变换与正、余弦定理

1.(1)[2016·全国卷Ⅰ] 已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=　　　　. 
(2)[2017·全国卷Ⅰ] 已知α∈,tan α=2,则cosα-=　　　　. 
[试做] _______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
命题角度　不同名三角函数的求值
(1)解决“已知角”与“所求角”不同名的求值问题:关键一,根据“所求角”与“已知角”的和或差的关系进行“变角”,对角的分拆要尽可能化成同角、补角、余角或特殊角;关键二,利用诱导公式进行“变名”求值.
(2)常见的配角技巧:2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β,β=-,α=+,=α+-+β,θ+-θ-=等.
2.(1)[2016·全国卷Ⅲ] 若tan θ=-,则cos 2θ= (　　)
A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D.
(2)[2013·全国卷Ⅱ] 已知sin 2α=,则cos2= (　　)
A. B. C. D.
[试做] _______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
命题角度　求高次幂或倍角的三角函数值问题
(1)解决已知正切值,求高次幂或倍角的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将倍角转化为“已知角”;关键二,“1”的代换,1=sin2α+cos2α=(sin α+cos α)2-2sin α·cos α;关键三,弦切互化,tan α=.
(2)解决已知倍角值,求高次幂的三角函数值问题:关键一,应用倍角公式将高次幂的三角函数转化为倍角;关键二,利用诱导公式进行变名求值.
3.(1)[2017·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C= (　　)
A.　　　　　　　　　　　　B.
C. D.
(2)[2018·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　. 
(3)[2014·全国卷Ⅰ] 如图M2-8-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　m. 

图M2-8-1
[试做] _______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
命题角度　正、余弦定理的应用
(1)利用正、余弦定理求边、角的解题策略:关键一,利用正、余弦定理进行边角互化;
关键二,运用三角恒等变换和A+B+C=π进行化简、消元,求出所求角;
关键三,已知两边和一边的对角或已知两角和一边,则选用正弦定理解三角形.
(2)利用正、余弦定理,解决实际问题的一般步骤:
①理解题意,分清已知与未知,画出示意图;
②根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中,建立一个解三角形的数学模型;
③利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解;
④检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解.

小题1三角恒等变换与求值
1 (1)[2018·全国卷Ⅱ] 已知tan=,则tan α=　　　　. 
(2)若sin-α=,则cos+2α= (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A. B.
C.- D.-
[听课笔记]  _____________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
【考场点拨】
高考中三角恒等变换与求值的常用解题策略:
(1)“1”的代换,1=sin2α+cos2α;
(2)降幂与升幂,二倍角公式的应用及逆用;
(3)转化法,弦切互化,一般是切化弦;
(4)角的拆分,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β,β=(α+β)-α等.
【自我检测】
1.已知cos α=,则sin-2α= (　　)
A.- B.
C. D.-
2.已知cos+α=2cos(π-α),则tan+α= (　　)
A.- B.-3
C. D.3
3.已知sin α+cos α=,则sin2-α= (　　)
A. B.
C. D.
4.[2018·全国卷Ⅰ] 已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2,则 (　　)
A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4
小题2利用正、余弦定理解三角形
2 (1)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a+b+c=20,三角形的面积为10,A=60°,则a= (　　)
A.7 B.8
C.5 D.6
(2)在△ABC中,若满足acos A=bcos B,则△ABC的形状为 (　　)
A.等腰三角形
B.锐角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰或直角三角形
[听课笔记] ______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
【考场点拨】
高考中利用正、余弦定理解三角形的解题策略:
在解三角形时,要有意识地考虑哪个定理更适合解题,甚至两个定理都需要,当给的条件含有角的余弦或边的二次式时,多考虑余弦定理,当给的条件含有角的正弦或边的一次式时,多考虑正弦定理.
当以上特征不明显时,要考虑哪个定理更适合或者两个定理都要用.
【自我检测】
1.[2018·全国卷Ⅱ] 在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= (　　)
A.4 B.
C. D.2
2.在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c.若角A,B,C依次成等差数列,且a=1,b=,则S△ABC= (　　)
A. B.
C. D.2
3.已知锐角△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是 (　　)
A.0, B.,
C., D.0,
4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若其面积S=,则cos 2A=　　　　. 
小题3正、余弦定理的实际应用
3 已知台风中心位于城市A东偏北α(α为锐角)度方向的150 km处,以v km/h沿正西方向快速移动,2.5 h后到达距城市A西偏北β(β为锐角)度方向的200 km处,若cos α=cos β,则v= (　　)
A.60 B.80
C.100 D.125
[听课笔记] _______________________________________________________________________________________
________________________________________________________________________________________________
【考场点拨】
高考中三角形的应用的解题策略:
三角形的应用实际上是把此类问题转化为解三角形问题,通过题设画出图形,在三角形中找出已知条件和所求的量,利用正弦定理或者余弦定理去解决.
【自我检测】
1.如图M2-8-2,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60 m,则河流的宽度

图M2-8-2
BC等于 (　　)
A.240(-1) m
B.180(-1) m
C.120(-1) m
D.30(+1) m
2.海上有A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望B岛和C岛成60°的视角,从B岛望A岛和C岛成75°的视角,则B,C间的距离是 (　　)
A.5 n mile
B.10 n mile
C. n mile
D.5 n mile

第8讲　三角恒等变换与正、余弦定理
典型真题研析
1.(1)-　(2)　[解析] (1)方法一:因为θ是第四象限角,且sinθ+=>0,所以θ+为第一象限角,
所以cosθ+==,所以tanθ-=tanθ+-=-cotθ+=-=-.
方法二:由sinθ+=,得sin θ+cos θ=,两边分别平方得2sin θcos θ=-,所以(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ
=.因为θ是第四象限角,所以sin θ-cos θ=-,所以tanθ-====-.
(2)因为α∈,tan α=2,所以sin α=,cos α=,于是cos=(cos α+sin α)=.
2.(1)D　(2)A　[解析] (1)cos 2θ====.
(2)cos2===,故选A.
3.(1)B　(2)　(3)150　[解析] (1)因为sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)
sin C=0,所以sin A=-cos A,得A=π.又由正弦定理=,得=,解得sin C=,所以C=.
(2)由b2+c2-a2=8 得2bccos A=8,可知A为锐角,且bccos A=4.由已知及正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=
4sin Asin Bsin C,因为sin B≠0,sin C≠0,所以可得sin A=,所以A=30°,所以bccos 30°=4,即bc=,所以△ABC 的面积S=bcsin A=××=.
(3)在Rt△ABC中,BC=100,∠CAB=45°,所以AC=100.在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有=,即AM=×100 =100,于是在Rt△AMN中,有MN=sin 60°×100=150 .
考点考法探究
小题1
例1　(1)　(2)D　[解析] (1)tan α=tan α-+===.
(2)sin-α=sin-+α=cos+α=,cos+2α=cos 2+α=2cos2+α-1=-.故选D.
【自我检测】
1.A　[解析] sin-2α=cos 2α=2cos2α-1=2×-1=-,故选A.
2.B　[解析] 由cos+α=2cos(π-α),可得-sin α=-2cos α,得tan α=2,则tan+α===-3,故选B.
3.B　[解析] 将sin α+cos α=两边平方得1+2sin αcos α=,即sin 2α=-,因为sin2-α==,所以sin2-α==.故选B.
4.B　[解析] 由题知,f(x)=1+cos 2x-+2=cos 2x+,所以f(x)的最小正周期为=π,当cos 2x=1时,f(x)取得最大值4,故选B.
小题2
例2　(1)A　(2)D　[解析] (1)由题意可得,S△ABC=bcsin A=bcsin 60°=10,∴bc=40,∵a+b+c=20,∴20-a=b+c.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos 60°=(b+c)2-3bc=(20-a)2-120,得a=7,故选A.
(2)在△ABC中,∵acos A=bcos B,∴由正弦定理==2R,得a=2Rsin A,b=2Rsin B,∴sin Acos A=sin Bcos B,
∴sin 2A=sin 2B,∴sin 2A=sin 2B,∴2A=2B或2A=π-2B,∴A=B或A+B=,∴△ABC为等腰或直角三角形,故选D.
【自我检测】
1.A　[解析] 由已知得cos C=2cos2-1=2×2-1=-,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=25+1-2×5×1×-=32,所以AB=4,故选A.
2.C　[解析] ∵角A,B,C依次成等差数列,∴B=60°,由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,∴c=2,∴S△ABC=acsin B=,故选C.
3.C　[解析] ∵b2=a2+c2-2accos B,b2=a(a+c),∴ac=c2-2accos B,∴a=c-2acos B,∴sin A=sin C-2sin Acos B=sin(A+B)-2sin Acos B=sin(B-A).∵△ABC为锐角三角形,∴A=B-A,∴B=2A.∵0