2019届二轮复习第11招不等式法全分类高考再无别家人学案（江苏专用）

不等式法全分类基本不等式是江苏高考C级要求，是高中数学的重要知识，高考和模拟考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查，一般放在9~14题．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．群里有很多伙伴和学生问及这类题目，就简单做个整理. 一、构造齐次法例1.已知，且，求的最小值______.【答案】9【解析】因为，当且仅当即时取等号.变式1.已知，且，求的最小值______.【答案】9【解析】当且仅当即时取等号. 变式2.（2011重庆理数7）已知，则的最小值是_________.【答案】【解析】当且仅当即时取等号. 变式3. 设，，若，则的最小值为        .【答案】【解析】.后面就一样的了变式4.设，，则的最小值为           .【答案】4【解析】将等式变形为，则（等号成立的条件） 变式5.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为       .【答案】【解析】二、消元法解题例2.设，，则的最小值为          .【答案】4【解析】将等式变形为当且仅当时取等号.变式1.若实数,，则的最大值是          .【答案】【解析】令，变式2.（08江苏11）设是     .       【答案】3【解析】试题分析：由,原式变式3.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数c的值为          ．【答案】9【解析】函数的值域为,可以直接让,的解集为,解集关与原点对称，所以m=-3,这样就轻松得到c=9. 三、分母整体换元 分母比较复杂时，都是一次的，可以把他换元，简化一下.例3.已知为正数，则的最大值为         .【答案】【解析】令检验等号成立的条件 变式.设a，b，c为正实数，求的最小值。 【答案】【解析】  四、判别式法解题能最终转化成一元二次方程的，才用判别式例4.（11浙江理16）设为实数，若则的最大值是         . 【答案】【解析】设化简得到因为为实数，则有所以最大值为变式1.设，，则的最小值为          .【答案】4【解析】略变式2.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为       .【答案】【解析】略 五、三角换元例5.，求的取值范围        .【答案】【解析】六、权方和权方和介绍权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式，常用来处理分式不等式。它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系。其中m称为不等式的权，特点是分子次数比分母高一次。通俗的说法是：例6.已知，且，求的最小值______. 【答案】9【解析】当且仅当时，即时取等号.变式1. 设，，若，则的最小值为            .【答案】【解析】.当且仅当时，即时取等号. 七、待定系数法例7.（10江苏12）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是        .【答案】27【解析】.检验等号成立的条件变式1.实数满足，则的最大值为____________．【答案】【解析】检验等号成立的条件 八、因式分解例8.已知实数x，s，t满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．【答案】6【解析】检验等号成立的条件 变式1.(2015通锡苏密卷一10)已知正实数满足，则最小值为      . 【答案】4【解析】.检验等号成立的条件变式2.(2014通锡苏密卷三11)若,则的最小值为            . 【答案】-1【解析】检验等号成立的条件变式3.若>0，且的最小值为            ．【答案】4【解析】由若>0，且检验等号成立的条件 【答案】九、柯西不等式柯西的证明一：已知二次函数检验等号成立的条件 柯西的证明二：构造向量检验等号成立的条件例9.（2016届湖南省衡阳市八中高三上学期第三次月考理科数学试卷）若，则的最小值为         ．【答案】【解析】试题分析：，则由柯西不等式可得故．当且仅当时取等号变式1.（2014年辽宁卷）对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为          . 【答案】【解析】由可得：，当且仅当时取等号，即时，取等号，这时或当时，，当时，，综上可知当时，变式2.设的最小值是      .【答案】4【解析】检验等号成立的条件十、构造法例10.已知则的最大值是          .【答案】【解析】由（这里是韦达定理的样子了），是的两根，，变成了三次函数，求导即可得出最值.  变式1.实数，满足，，则的取值范围为______ 【答案】【解析】略十一、对称变量（体现数学的美感） 未知数互换不影响结果的，才能使用对称变量法，同时注意等号成立的条件 例11.已知正实数，求最大值为_______.【答案】【解析】令即可变式1.已知正实数，求最小值为_______.【答案】【解析】令即可变式2.若实数,，则的最大值是          .【答案】【解析】令即可十二、两边夹例12.若实数满足，则的最小值为      .【答案】【解析】易知当且仅当时取等，所以变式1.若实数满足，则的最小值为      . 【答案】【解析】同上 十三、主元思想例13.已知【答案】【解析】原式等价于先看作的函数，再看作关于c的函数，最后只剩下b ，三次函数求导即可，取等条件为变式1.设实数满足：，则的最大值为___________.【答案】【解析】把b看成主元，则，所以为对勾函数或者一次函数，不管这个区间是否包含对勾函数的勾底，最大值都是在端点处取的，所以 十四、根的分布例15. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是            .
【答案】
【解析】画出二次函数的分析简图：

由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为
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