2019届二轮复习第14练　空间点、线、面的位置关系[小题提速练]学案（全国通用）(1)

第14练　空间点、线、面的位置关系[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：空间线面关系的判断；空间中的平行、垂直关系；利用空间的平行、垂直关系求解空间角.2.题目难度：中档难度.

考点一　空间线面位置关系的判断
方法技巧　(1)判定两直线异面的方法
①反证法；
②利用结论：过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线是异面直线.
(2)模型法判断线面关系：借助空间几何模型，如长方体、四面体等观察线面关系，再结合定理进行判断.
(3)空间图形中平行与垂直的实质是转化思想的体现，要掌握以下的常用结论
①平面图形的平行关系：平行线分线段成比例、平行四边形的对边互相平行；
②平面图形中的垂直关系：等腰三角形的底边上的中线和高重合、菱形的对角线互相垂直、圆的直径所对圆周角为直角、勾股定理.
1.已知直线a与平面α，β，α∥β，a⊂α，点B∈β，则在β内过点B的所有直线中(　　)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
答案　D
解析　在平面内过一点，只能作一条直线与已知直线平行.
2.若M，N分别是△ABC边AB，AC的中点，则MN与过直线BC的平面β的位置关系是(　　)
A.MN∥β
B.MN与β相交或MN⊂β
C.MN∥β或MN⊂β
D.MN∥β或MN与β相交或MN⊂β
答案　C
解析　若平面β是△ABC所在的平面，
则MN⊂β.
若MN⊄β，则MN∥β.故选C.
3.将正方体的纸盒展开如图，直线AB，CD在原正方体的位置关系是(　　)

A.平行 B.垂直
C.相交成60°角 D.异面且成60°角
答案　D
解析　如图，直线AB，CD异面.

因为CE∥AB，所以∠ECD即为异面直线AB，CD所成的角，
因为△CDE为等边三角形，故∠ECD＝60°.
4.已知α，β表示平面，m，n表示直线，m⊥β，α⊥β，给出下列四个结论：
①∀n⊂α，n⊥β；②∀n⊂β，m⊥n；③∀n⊂α，m∥n；④∃n⊂α，m⊥n.
则上述结论中正确的序号为________.
答案　②④
解析　由于m⊥β，α⊥β，所以m⊂α或m∥α.∀n⊂α，n⊥β或n与β斜交或n∥β，所以①不正确；∀n⊂β，m⊥n，所以②正确；∀n⊂α，m与n可能平行、相交或异面，所以③不正确；当m⊂α或m∥α时，∃n⊂α，m⊥n，所以④正确.
考点二　空间角的求解
方法技巧　(1)对于两条异面直线所成的角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置.
(2)直线和平面所成的角的求解关键是找出或作出过斜线上一点的平面的垂线，得到斜线在平面内的射影.
5.(2018·全国Ⅱ)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　方法一　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的一侧补上一个相同的长方体A′B′BA－A1′B1′B1A1.连接B1B′，由长方体性质可知，B1B′∥AD1，所以∠DB1B′为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角.连接DB′，由题意，得DB′＝＝，B′B1＝＝2，DB1＝＝.

在△DB′B1中，由余弦定理，得DB′2＝B′B＋DB－2B′B1·DB1·cos∠DB1B′，
即5＝4＋5－2×2cos∠DB1B′，∴cos∠DB1B′＝.故选C.
方法二　如图，以点D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系D－xyz.

由题意，得A(1，0，0)，D(0，0，0)，D1(0，0，)，B1(1，1，)，
∴＝(－1，0，)，＝(1，1，)，
∴·＝－1×1＋0×1＋()2＝2，||＝2，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
故选C.
6.在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB＝BC＝CD，则异面直线AC与BD所成的角的余弦值为(　　)

A. B.－ C. D.－
答案　A
解析　如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，连接EF，FO，OG，GE，GF，

则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，
∴∠FEG或其补角为异面直线AC与BD所成的角.
设AB＝2a，则EG＝EF＝a，FG＝＝a，
∴△EFG是等边三角形，
∴∠FEG＝60°，
∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选A.
7.已知E，F分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，AD的中点，则直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是(　　)

A. B.　C. D.
答案　B
解析　连接AE，BD，过点F作FH⊥BD交BD于H，连接EH，则FH⊥平面BDD1B1，

∴∠FEH是直线EF和平面BDD1B1所成的角.
设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，
∵E，F分别是棱BB1，AD的中点，
∴在Rt△DFH中，DF＝1，∠FDH＝45°，
可得FH＝DF＝.
在Rt△AEF中，AF＝1，AE＝＝，
可得EF＝＝.
在Rt△EFH中，sin∠FEH＝＝，
∴直线EF和平面BDD1B1所成的角的正弦值是.
8.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，点D在棱BB1上，若BD＝3，则AD与平面AA1C1C所成角的正切值为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　如图，取AC的中点E，连接BE，可得·＝(＋)·＝·＝4×2×＝12＝5×2×cos θ(θ为与的夹角)，所以cos θ＝，sin θ＝，又因为BE⊥平面AA1C1C，所以所求角即为－θ，所以tan＝＝＝.

考点三　空间线、面关系的综合问题
方法技巧　解决与翻折有关的问题的两个关键
(1)要明确翻折前后的变化量和不变量.一般情况下，线段的长度是不变量，而位置关系往往会发生变化.
(2)在解决问题时，要比较翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形.
9.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AD，DD1的中点，AB＝4，则过B，E，F的平面截该正方体所得的截面周长为(　　)
A.6＋4 B.6＋2
C.3＋4 D.3＋2
答案　A
解析　∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AD，DD1的中点，

∴EF∥AD1∥BC1.
∵EF⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，
∴EF∥平面BCC1B1.
由正方体的棱长为4，可得截面是以BE＝C1F＝2为腰，EF＝2为上底，BC1＝2EF＝4为下底的等腰梯形，故周长为6＋4.
10.如图，四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD.将四边形ABCD沿对角线BD拆成四面体A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，则下列结论正确的是(　　)

A.A′C⊥BD
B.∠BA′C＝90°
C.CA′与平面A′BD所成的角为30°
D.四面体A′－BCD的体积为
答案　B
解析　若A成立可得BD⊥A′D，产生矛盾，故A不正确；
由题干知△BA′D为等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，所以BA′⊥A′C，于是B正确；
由CA′与平面A′BD所成的角为∠CA′D＝45°知C不正确；
VA′－BCD＝VC－A′BD＝，D不正确，故选B.
11.在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，将△ABC与△ADC沿AC所在的直线进行随意翻折，在翻折过程中直线AD与直线BC所成的角的范围(包含初始状态)为(　　)

A. B.
C. D.
答案　C
解析　由题意，初始状态直线AD与直线BC所成的角为0，
当DB＝时，AD⊥DB，AD⊥DC，又DC∩DB＝D，
∴AD⊥平面DBC，又BC⊂平面DBC，所以AD⊥BC，
直线AD与直线BC所成的角为，
∴在翻折过程中直线AD与直线BC所成角的范围(包含初始状态)为.
12.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，

则下列结论中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直线BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.
正确的为________(把所有正确的序号都填上).
答案　①④
解析　由PA⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，得PA⊥AE，
又由正六边形的性质得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，
∵PB⊂平面PAB，∴PB⊥AE，∴①正确；
由正六边形的性质计算可得PA＝AD，故△PAD是等腰直角三角形，
∴∠PDA＝45°，∴④正确.

1.α，β是两个不重合的平面，在下列条件下，可判定α∥β的是(　　)
A.α，β都平行于直线l，m
B.α内有三个不共线的点到β的距离相等
C.l，m是α内的两条直线且l∥β，m∥β
D.l，m是两条异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
答案　D
解析　对于A，l，m应相交；对于B，应考虑三个点在β的同侧或异侧两种情况；对于C，l，m应相交，故选D.
2.给出下列命题：
①若平面α内的直线a与平面β内的直线b为异面直线，直线c是α与β的交线，那么c至多与a，b中的一条相交；
②若直线a与b异面，直线b与c异面，则直线a与c异面；
③一定存在平面α同时和异面直线a，b都平行.
其中正确的命题为(　　)
A.① B.② C.③ D.①③
答案　C
解析　①错，c可与a，b都相交；②错，因为a，c也可能相交或平行；③正确，例如过异面直线a，b的公垂线段的中点且与公垂线垂直的平面即满足条件.
3.(2018·长沙模拟)如图所示，在直角梯形BCEF中，∠CBF＝∠BCE＝90°，A，D分别是BF，CE上的点，AD∥BC，且AB＝DE＝2BC＝2AF(如图1).将四边形ADEF沿AD折起，连接AC，CF，BE，BF，CE(如图2)，在折起的过程中，下列说法错误的是(　　)

A.AC∥平面BEF
B.B，C，E，F四点不可能共面
C.若EF⊥CF，则平面ADEF⊥平面ABCD
D.平面BCE与平面BEF可能垂直
答案　D
解析　A选项，连接BD，交AC于点O，取BE的中点M，连接OM，FM，则四边形AOMF是平行四边形，所以AO∥FM，因为FM⊂平面BEF，AC⊄平面BEF，所以AC∥平面BEF；B选项，若B，C，E，F四点共面，因为BC∥AD，所以BC∥平面ADEF，又BC⊂平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，所以可推出BC∥EF，又BC∥AD，所以AD∥EF，矛盾；C选项，连接FD，在平面ADEF内，由勾股定理可得EF⊥FD，又EF⊥CF，FD∩CF＝F，所以EF⊥平面CDF，所以EF⊥CD，又CD⊥AD，EF与AD相交，所以CD⊥平面ADEF，所以平面ADEF⊥平面ABCD；D选项，延长AF至G，使AF＝FG，连接BG，EG，可得平面BCE⊥平面ABF，且平面BCE∩平面ABF＝BG，过F作FN⊥BG于N，则FN⊥平面BCE，若平面BCE⊥平面BEF，则过F作直线与平面BCE垂直，其垂足在BE上，矛盾.
解题秘籍　(1)线面关系的判断要结合空间模型(如长方体、正四面体等)或实例，以定理的结论为依据进行推理，而不能主观猜想.
(2)两条异面直线所成角求解关键是通过平移作出所求角，要注意两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].

1.已知直线a∥平面α，则“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　A
解析　若直线a⊥平面β，直线a∥平面α，可得平面α⊥平面β；若平面α⊥平面β，又直线a∥平面α，那么直线a⊥平面β不一定成立.如正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ABCD⊥平面BCC1B1，直线AD∥平面BCC1B1，但直线AD⊂平面ABCD；直线AD1∥平面BCC1B1，但直线AD1与平面ABCD不垂直.综上，“直线a⊥平面β”是“平面α⊥平面β”的充分不必要条件.

2.在下列四个正方体中，能得出异面直线AB⊥CD的是(　　)

答案　A
解析　对于A，作出过AB的平面ABE，如图①，可得直线CD与平面ABE垂直，根据线面垂直的性质知，AB⊥CD成立，故A正确；对于B，作出过AB的等边三角形ABE，如图②，将CD平移至AE，可得CD与AB所成的角等于60°，故B不成立；对于C，D，将CD平移至经过点B的侧棱处，可得AB，CD所成的角都是锐角，故C和D均不成立.故选A.

3.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出四个命题：
①若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则α⊥β；
②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
④若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β.
其中正确的命题是(　　)
A.①② B.②③
C.①④ D.③④
答案　B
解析　两个平面斜交时也会出现一个平面内的直线垂直于两个平面的交线的情况，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面平行，②正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故③正确；当两个平面相交时，分别与两个平面平行的直线也平行，故④不正确.
4.(2017·全国Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)
A.A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD
C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC
答案　C
解析　方法一　如图，∵A1E在平面ABCD上的射影为AE，而AE不与AC，BD垂直，

∴B，D错；
∵A1E在平面BCC1B1上的射影为B1C，且B1C⊥BC1，
∴A1E⊥BC1，故C正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E⊂平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)
∵A1E在平面DCC1D1上的射影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错.
方法二　(空间向量法)建立如方法一图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，E，∴＝，＝(0，1，1)，＝(－1，－1，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，1，0)，∴·≠0，·≠0，·＝0，·≠0，∴A1E⊥BC1.
5.(2016·全国Ⅰ)平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)
A. B. C. D.
答案　A
解析　如图所示，设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1，

∵α∥平面CB1D1，则m1∥m，
又∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，
平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，∴B1D1∥m1，
∴B1D1∥m，同理可得CD1∥n.
故m，n所成角的大小与B1D1，CD1所成角的大小相等，即∠CD1B1的大小.
而B1C＝B1D1＝CD1(均为面对角线)，
因此∠CD1B1＝，
得sin∠CD1B1＝，故选A.
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分别是AA1，A1D1，CC1，BC的中点，给出以下四个结论：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C与PM相交；④NC与PM异面.其中不正确的结论是(　　)

A.① B.② C.③ D.④
答案　B
解析　作出过M，N，P，Q四点的截面交C1D1于点S，交AB于点R，如图中的六边形MNSPQR，显然点A1，C分别位于这个平面的两侧，故A1C与平面MNPQ一定相交，不可能平行，故结论②不正确.

7.如图，四边形ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2，O，M分别为CD，BC的中点，则异面直线OM与PD所成的角的余弦值为(　　)

A. B. C. D.
答案　C
解析　连接BD，OB，

则OM∥DB，
∴∠PDB或其补角为异面直线OM与PD所成的角.
由已知条件可知PO⊥平面ABCD，
OB＝3，PO＝，BD＝2，PB＝2，
在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB＝＝＝.
8.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PA，PD的中点，在此几何体中，给出下面4个结论：

①直线BE与直线CF异面；
②直线BE与直线AF异面；
③直线EF∥平面PBC；
④平面BCE⊥平面PAD.
其中正确的有(　　)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
答案　B
解析　将展开图还原为几何体(如图)，因为E，F分别为PA，PD的中点，所以EF∥AD∥BC，即直线BE与CF共面，①错；因为B∉平面PAD，E∈平面PAD，E∉AF，所以BE与AF是异面直线，②正确；因为EF∥AD∥BC，EF⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以EF∥平面PBC，③正确；平面PAD与平面BCE不一定垂直，④错.故选B.

9.如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，EB＝2DC，P，Q分别为AE，AB的中点.则直线DP与平面ABC的位置关系是________.

答案　平行
解析　连接CQ，在△ABE中，P，Q分别是AE，AB的中点，所以PQ∥BE，PQ＝BE.

又DC∥EB，DC＝EB，
所以PQ∥DC，PQ＝DC，所以四边形DPQC为平行四边形，所以DP∥CQ.
又DP⊄平面ABC，CQ⊂平面ABC，
所以DP∥平面ABC.
10.(2018·全国Ⅱ)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________.
答案　8π
解析　在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8，
解得SA＝4.
设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，
在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，
所以r＝2，h＝2，
所以圆锥的体积V＝πr2·h＝π×(2)2×2＝8π.
11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱AA1，B1C1，C1D1，DD1的中点，则GH与平面EFH所成的角的余弦值为______.

答案　
解析　连接B1E，HC1，平面EFH即平面B1C1HE.

在正方体AC1中，B1C1⊥平面CDD1C1，
故平面B1C1HE⊥平面CDD1C1，过点G作GM⊥C1H于M，则GM⊥平面B1C1HE，则∠C1HG即为GH与平面EFH所成的角，设正方体棱长为2，则GH＝，C1G＝1，C1H＝，
∴cos∠C1HG＝＝＝.
12.如图所示，正方形BCDE的边长为a，已知AB＝BC，将△ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：
①AB与DE所成的角的正切值是；②AB∥CE；③VB－ACE＝；④平面ABC⊥平面ADC.
其中正确的有________.(填写你认为正确的序号)

答案　①③④
解析　作出折叠后的几何体直观图如图所示.

∵A点在平面BCDE上的射影为点D，
∴AD⊥平面BCDE.
∵BC⊂平面BCDE，
∴AD⊥BC.
∵四边形BCDE是正方形，
∴BC⊥CD，又AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ACD，
∴BC⊥平面ADC.
又BC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ADC，故④正确；
∵DE∥BC，
∴∠ABC或其补角为AB与DE所成的角，
∵BC⊥平面ADC，AC⊂平面ADC，∴BC⊥AC，
∵AB＝BC，BC＝a，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝a，
∴tan∠ABC＝＝，故①正确；
连接BD，CE，则CE⊥BD，
又AD⊥平面BCDE，CE⊂平面BCDE，∴CE⊥AD.
又BD∩AD＝D，BD，AD⊂平面ABD，
∴CE⊥平面ABD，
又AB⊂平面ABD，
∴CE⊥AB.故②错误；
在Rt△ABE中，AB＝a，BE＝a，
∴AE＝a，又DE＝a，AD⊥DE，∴AD＝a，
∴三棱锥B－ACE的体积VB－ACE＝VA－BCE＝S△BCE·AD＝××a2×a＝，故③正确.