2019届二轮复习第17练　概率、随机变量及其分布列[小题提速练]学案（全国通用）

第17练　概率、随机变量及其分布列[小题提速练]
[明晰考情]　1.命题角度：古典概型、几何概型的考查；独立重复试验、相互独立事件、互斥事件及对立事件及简单的随机变量的分布列.2.题目难度：中低档难度.

考点一　古典概型和几何概型
方法技巧　求解古典(几何)概型的概率的两种常用方法
(1)直接法：将所求事件转化成几个彼此互斥的事件的和事件，利用概率加法公式求解概率.
(2)间接法：若将一个较复杂的事件转化为几个互斥事件的和事件，需要分类太多，而其对立面的分类较少时，可考虑利用对立事件的概率公式进行求解，即“正难则反”.它常用来求“至少”或“至多”型事件的概率.
1.(2016·北京)从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　从甲、乙等5名学生中随机选2人共有10种情况，甲被选中有4种情况，则甲被选中的概率为＝.
2.住在狗熊岭的7只动物，它们分别是熊大，熊二，吉吉，毛毛，蹦蹦，萝卜头，图图.为了更好的保护森林，它们要选出2只动物作为组长，则熊大，熊二至少一只被选为组长的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　从住在狗熊岭的7只动物中选出2只动物作为组长，基本事件总数n＝C＝21，熊大，熊二至少一只被选为组长的对立事件是熊大，熊二都没有被选为组长，
∵熊大，熊二都没有被选为组长的情况有C＝10(种)，
∴熊大，熊二至少一只被选为组长的概率P＝1－＝.
3.在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a，b，则使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点的概率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　B
解析　∵a，b使得函数f(x)＝x2＋2ax－b2＋π有零点，
∴Δ≥0，a2＋b2≥π.
试验发生时包含的所有事件是Ω＝{(a，b)|－π≤a≤π，－π≤b≤π}，
∴S＝(2π)2＝4π2，
而满足条件的事件是{(a，b)|a2＋b2≥π}，
∴S1＝4π2－π2＝3π2，
由几何概型公式得P＝.
4.(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________.
答案　
解析　设事件“在区间[－4，5]上随机取一个数x，
则x∈D”为事件A，
由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，
∴D＝[－2，3].
如图，区间[－4，5]的长度为9，定义域D的长度为5，

∴P(A)＝.
考点二　互斥事件、相互独立事件的概率
要点重组　(1)条件概率
在A发生的条件下B发生的概率P(B|A)＝.
(2)相互独立事件同时发生的概率P(AB)＝P(A)P(B).
方法技巧　(1)求复杂事件的概率：将复杂事件转化为几个彼此互斥的事件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件，然后用概率公式求解.
(2)①注意辨别独立重复试验的基本特征：在每次试验中，试验结果只有发生与不发生两种情况；在每次试验中，事件发生的概率相同.
②牢记公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n，并深刻理解其含义.
5.把一枚骰子连续抛掷两次，记“第一次抛出的是素数点”为事件A，“第二次抛出的是合数点”为事件B，则P(B|A)等于(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　∵P(A)＝，P(AB)＝，
∴P(B|A)＝＝.
6.盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得二等品的概率为(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　设“第二次取得一等品”为事件A，“第一次取得二等品”为事件B，则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，所以P(B|A)＝＝×＝.
7.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率P(A)是(　　)
A. B.　C. D.
答案　D
解析　由P(A)＝P(B)，得P(A)P()＝P(B)P()，
即P(A)[1－P(B)]＝P(B)[1－P(A)]，
∴P(A)＝P(B).又P()＝，则P()＝P()＝，
∴P(A)＝.
8.某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18，19，20层停靠，若该电梯在底层有5个乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率为，用ξ表示5位乘客在第20层下电梯的人数，则P(ξ＝4)＝________.
答案　
解析　考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复试验，故ξ～B，
即有P(ξ＝k)＝Ck×5－k，k＝0，1，2，3，4，5.
故P(ξ＝4)＝C4×1＝.
考点三　离散型随机变量的期望和方差
方法技巧　离散型随机变量期望与方差的解题思路
(1)理解随机变量X的意义，写出X的所有可能取值，确定分布列的类型.
(2)求X取每个值的概率.
(3)写出X的分布列.
(4)求出E(X)，D(X).
9.某种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的期望为(　　)
A.100 B.200　C.300 D.400
答案　B
解析　E(X)＝1 000×0.9×0＋1 000×0.1×2＝200.
10.袋中装有大小相同，标号分别为1，2，3，…，9的9个球.现从袋中随机取出3个球.设ξ为这3个球的标号相邻的组数(例如：若取出球的标号为3，4，5，则有两组相邻的标号3，4和4，5，此时ξ的值是2)，则随机变量ξ的期望E(ξ)为(　　)
A. B. C. D.
答案　D
解析　依题意得，ξ的所有可能取值是0，1，2，且P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝，因此E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
11.(2018·全国Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)＝2.4，P(X＝4)＜P(X＝6)，则p等于(　　)
A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
答案　B
解析　由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布，即X～B(10，p)，所以D(X)＝10p(1－p)＝2.4，所以p＝0.4或0.6.
又因为P(X＝4)＜P(X＝6)，
所以Cp4(1－p)6＜Cp6(1－p)4，所以p＞0.5，
所以p＝0.6.
12.(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)＝________.
答案　1.96
解析　由题意得X～B(100，0.02)，
∴D(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.

1.甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　白球没有减少的情况有：①取出黑球，放入任意球，概率是；②取出白球，放入白球，概率是×＝，故所求事件的概率为＋＝.
2.体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止.设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的期望E(X)＞1.75，则p的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
答案　C
解析　发球次数X的分布列如下表：
X
1
2
3
P
p
(1－p)p
(1－p)2

所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＞1.75，
解得p＞或p＜，
又0