2019届二轮复习第21讲　不等式选讲学案（全国通用）

第21讲　不等式选讲1.[2017·全国卷Ⅰ  已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)= x+1 + x-1 .(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1 ,求a的取值范围.[试做  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　含绝对值的不等式的解法含绝对值不等式的解题策略:关键一:运用分类讨论思想,根据零点分区间讨论;关键二:运用数形结合思想,利用绝对值的几何意义求解.2.[2017·全国卷Ⅱ  已知a>0,b>0,a3+b3=2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　不等式的证明不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中公式法常用的是基本不等式和柯西不等式.3.[2016·全国卷Ⅲ  已知函数f(x)= 2x-a +a.(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;(2)设函数g(x)= 2x-1 ,当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.[试做  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　命题角度　关于含绝对值不等式的恒成立问题解决恒成立问题主要利用转化思想,其思路为:①f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a ;②f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;③f(x)>a有解⇔f(x)max>a;④f(x)<a有解⇔f(x)min<a;⑤f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;⑥f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.解答1含绝对值的不等式的解法1 设函数f(x)= 2x-a +5x,其中a>0.(1)当a=3时,求不等式f(x)≥5x+1的解集;(2)若不等式f(x)≤0的解集为{ ≤-1},求a的值.[听课笔记  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】高考常考的含有绝对值的不等式的解法:(1)利用零点分区间讨论法.以绝对值的零点为分界点,将数轴分成几个区间,运用分类讨论思想对每个区间进行讨论.(2)利用绝对值的几何意义求解.即运用数形结合思想,将绝对值不等式与在数轴上的距离(范围)问题结合.解题时强调函数、数形结合与转化化归思想的灵活应用.(3)构造函数去解决.一般是把含有绝对值的式子构造为一个函数,剩余的部分构造成另一个函数,画出函数图像,利用数形结合的方法解决问题.【自我检测】已知函数f(x)= x+m + 2x-1 .(1)当m=-1时,求不等式f(x)≤2的解集;(2)若f(x)≤ 2x+1 的解集包含,2,求实数m的取值范围.  解答2不等式的证明2 已知函数f(x)= x+1 - x-4 .(1)若f(x)≤-m2+6m恒成立,求实数m的取值范围;(2)在(1)的条件下,设m的最大值为m0,a,b,c均为正实数,当3a+4b+5c=m0 时,证明:a2+b2+c2≥.[听课笔记  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】高考中不等式证明的关注点:不等式证明的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、公式法等,其中以比较法和综合法最为常见,反证法和分析法也是我们常用的,公式法常用的是基本不等式和柯西不等式,其中柯西不等式既是证明不等式的利器,又是求二元变量关系式最值的法宝.【自我检测】已知函数f(x)= x-1 + x-5 .(1)解关于x的不等式f(x)>6;(2)记f(x)的最小值为m,已知实数a,b,c 都是正实数,且++=,求证:a+2b+3c≥9.   解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 已知函数f(x)= x-2 - 2x-2 .(1)求不等式f(x)+1>0的解集;(2)当x∈R时,f(x)<-x+a恒成立,求实数a的取值范围.[听课笔记  　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或范围,一般采用分离参数法,然后使用结论:(1)如f(x)>g(a)恒成立,则转化为f(x)min>g(a);(2)如f(x)<g(a)恒成立,则转化为f(x)max<g(a).【自我检测】设函数f(x)= x+a + x-3a ,a∈R.(1)若f(x)的最小值是4,求a的值;(2)若对于任意的实数x∈R,总存在a∈[-2,3 ,使得m2-4 m -f(x)≤0成立,求实数m的取值范围.    第21讲　不等式选讲 典型真题研析1.解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于x2-x+ x+1 + x-1 -4≤0.①当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,从而1<x≤.所以f(x)≥g(x)的解集为.(2)当x∈[-1,1 时,g(x)=2,所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1 ,等价于当x∈[-1,1 时f(x)≥2.又f(x)在[-1,1 的最小值必为f(-1)与f(1)之一,所以f(-1)≥2,且f(1)≥2,得-1≤a≤1.所以a的取值范围为[-1,1 .2.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.3.解:(1)当a=2时,f(x)= 2x-2 +2.解不等式 2x-2 +2≤6,得-1≤x≤3.因此,f(x)≤6的解集为{x -1≤x≤3}.(2)当x∈R时,f(x)+g(x)= 2x-a +a+ 1-2x ≥ 2x-a+1-2x +a= 1-a +a,当x=时等号成立,所以当x∈R时,f(x)+g(x)≥3等价于 1-a +a≥3.①当a≤1时,①等价于1-a+a≥3,无解.当a>1时,①等价于a-1+a≥3,解得a≥2.所以a的取值范围是[2,+∞). 考点考法探究解答1 例1　解:(1)当a=3时,不等式f(x)≥5x+1即 2x-3 +5x≥5x+1,即 2x-3 ≥1,解得x≥2或x≤1,∴不等式f(x)≥5x+1的解集为{ ≤1或x≥2}.(2)由f(x)≤0得 2x-a +5x≤0,即或又a>0,∴不等式f(x)≤0的解集为xx≤-,由题意得-=-1,解得a=3.【自我检测】解:(1)当m=-1时,f(x)= x-1 + 2x-1 .①当x≥1时,f(x)=3x-2≤2,此时1≤x≤;②当<x<1时,f(x)=x≤2,此时<x<1;③当x≤时,f(x)=2-3x≤2,此时0≤x≤.综合①②③可知,原不等式的解集为. (2)由题意可知f(x)≤ 2x+1 在,2上恒成立,当x∈,2时,由f(x)= x+m + 2x-1 = x+m +2x-1≤ 2x+1 =2x+1,可得 x+m ≤2,即-2≤x+m≤2,所以-2-x≤m≤2-x,又(-2-x)max=-,(2-x)min=0,所以m∈-,0. 解答2 例2　解:(1)不等式f(x)≤-m2+6m恒成立等价于f(x)max≤-m2+6m,而f(x)= x+1 - x-4 ≤ x+1-(x-4) =5,∴-m2+6m≥5, ∴1≤m≤5,即实数m的取值范围为[1,5 .(2)证明:在(1)的条件下,m的最大值m0=5,即3a+4b+5c=5,由柯西不等式得(a2+b2+c2)·(9+16+25)≥(3a+4b+5c)2,即50(a2+b2+c2)≥25,∴a2+b2+c2≥.【自我检测】解:(1)f(x)= x-1 + x-5 ,所以由f(x)>6得或或解得x<0或x>6,所以不等式f(x)>6的解集为(-∞,0)∪(6,+∞).(2)证明:由f(x)= x-1 + x-5 ≥ x-1-(x-5) =4(当且仅当1≤x≤5时取等号),得f(x)min=4,即m=4,从而++=1,所以a+2b+3c=++(a+2b+3c)=3++++++≥9(当且仅当a=2b=3c=3时取等号).解答3 例3　解:(1)当x≤1时,f(x)=x,∴f(x)+1>0即为x+1>0,解得x>-1,此时-1<x≤1;当1<x≤2时,f(x)=-3x+4,∴f(x)+1>0即为-3x+5>0,解得x<,此时1<x<;当x>2时,f(x)=-x,∴f(x)+1>0即为-x+1>0,解得x<1,此时x∈⌀.综上可知,f(x)+1>0的解集为x-1<x<.(2)由(1)知f(x)=作出y=f(x)的图像,如图所示:结合图像可知,要使f(x)<-x+a恒成立,只需当x=1时,f(x)<-x+a,即1<-1+a,解得a>2,∴实数a的取值范围为(2,+∞).【自我检测】解:(1)∵f(x)= x+a + x-3a ≥ (x+a)-(x-3a) =4 a ,且f(x)min=4,∴4 a =4,解得a=±1.(2)由题知 m 2-4 m ≤4 a ,又a是存在的且a∈[-2,3 .∴ m 2-4 m ≤4 a max=12,即 m 2-4 m -12≤0,即( m -6)( m +2)≤0,∴ m ≤6,∴-6≤m≤6,即实数m的取值范围为[-6,6 .[备选理由  在不等式的证明中,反证法也是解决问题的一个重要思路,备用例1是对例2应用的一个补充.例1　[配例2使用  已知函数f(x)= 2x-a ,g(x)=x+2,a∈R. (1)当a=1时,求不等式f(x)+f(-x)≤g(x)的解集;(2)若b∈R,求证:f,f-,f中至少有一个不小于.解:(1)当a=1时,f(x)+f(-x)≤g(x)即 2x-1 + 2x+1 ≤x+2,所以无解;解得0≤x<;解得≤x≤.综上,原不等式的解集为x0≤x≤.(2)证明:(反证法)假设f,f-,f都小于,则前两式相加可得-<a<,与第三式<a<矛盾,故假设不成立.所以f,f,f中至少有一个不小于.