2019届二轮复习第20讲 坐标系与参数方程学案（全国通用）
展开第20讲 坐标系与参数方程
1.[2016·全国卷Ⅰ 在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
[试做
2.[2017·全国卷Ⅲ 在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2
的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当 变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
[试做
命题角度 坐标系与参数方程
(1)利用x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可将极坐标方程与直角坐标方程互化.
(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元法、平方消元法、代入法等.在参数方程与普通方程的互化过程中,必须使两种方程中的x,y的取值范围保持一致.
(3)解决极坐标问题的一般思路:
①将曲线的极坐标方程联立,再根据限制条件求出极坐标;
②在对极坐标的意义和应用不太熟悉的时候,可将极坐标方程化为直角坐标方程,求出交点坐标,再将其化为极坐标.
(4)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为普通方程或直角坐标方程后再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.
解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程
1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y=5,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.
(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;
(2)射线OP:θ=(ρ≥0)与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.
[听课笔记
【考场点拨】
将直角坐标方程化为极坐标方程时,只要运用公式x=ρcos θ及y=ρsin θ,直接代入并化简即可;
将极坐标方程化为直角坐标方程时,常用极坐标方程两边同乘(或同除以)ρ,将极坐标方程构造成含有ρsin θ,ρcos θ,ρ2的形式,然后利用公式代换化简得到直角坐标方程.
【自我检测】
以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C的极坐标方程是ρ2=.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)设曲线C与x轴正半轴及y轴正半轴交于点M,N,在第一象限内任取曲线C上一点P,求四边形OMPN面积的最大值.
解答2简单曲线的参数方程
2 已知曲线C的极坐标方程是ρ-4sin θ=0,以极点为原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l过点M(1,0),倾斜角为.
(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的参数方程;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求 MA + MB 的值.
[听课笔记
【考场点拨】
高考中直线参数方程问题的注意点:
(1)利用直线的参数方程(t为参数)中参数的几何意义求解时,若A,B为直线上两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,P(x0,y0),则以下结论在解题中经常用到:①t0=;② AB = t2-t1 ;③ PA · PB = t1·t2 .
(2)用参数方程的几何意义解题时,参数方程必须是标准形式,即满足参数t前面的系数的平方和等于1,否则会出现错误.
【自我检测】
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为t为参数,θ∈[0,π).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=8sinθ+.
(1)求圆C的圆心的直角坐标;
(2)设点P(1,),若直线l与圆C交于A,B两点,求证: PA · PB 为定值,并求出该定值.
解答3极坐标与参数方程的综合应用
3 在直角坐标系xOy中,曲线C1:(θ为参数),在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ(cos θ-sin θ)=4.
(1)写出曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1上有一动点M,曲线C2上有一动点N,求 MN 最小时M点的坐标.
[听课笔记
【考场点拨】
高考中利用参数解题的几点应用:
(1)在圆锥曲线截直线的弦长问题中的应用.这类问题通常是过某一定点作一直线与圆锥曲线相交于A,B两点,所求问题与定点到A,B两点的距离有关,主要利用定点在直线AB上以及参数t的几何意义,结合根与系数的关系进行处理.
(2)解决中点问题.可利用t0=结合t的几何意义去解决.
(3)与直线有关的最值、范围问题.这类问题主要是线段的两个端点在圆锥曲线上,求相应的最大值和最小值问题.解决此类问题时可以先利用参数方程中的参数去表示,然后利用三角函数的相关知识求解.
【自我检测】
以平面直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线C1的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0,曲线C2的参数方程为(φ为参数).
(1)求曲线C1的直角坐标方程及曲线C2的普通方程;
(2)已知点P,0,直线l的参数方程为(t为参数),设直线l与曲线C1 交于M,N两点,求+的值.
模块七 选考模块
第20讲 坐标系与参数方程
典型真题研析
1.解:(1)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,则由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由已知tan θ=2,
可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
当a=1时,极点也为C1,C2的公共点,在C3上,
所以a=1.
2.解:(1)消去参数t得l1的普通方程l1:y= (x-2),消去参数m得l2的普通方程l2:y=(x+2).
设P(x,y),由题设得消去 得x2-y2=4(y≠0),
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4得ρ2=5,所以交点M的极径为.
考点考法探究
解答1
例1 解:(1)在x+y=5中,令x=ρcos θ,y=ρsin θ,
得ρcos θ+ρsin θ=5,化简得2ρsinθ+=5,
即为直线l的极坐标方程.
由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,又ρ2=x2+y2,y=ρsin θ,所以x2+y2=4y,
即x2+(y-2)2=4,即为圆C的直角坐标方程.
(2)由题知ρA=4sin=2,
ρB==5,
所以 AB = ρA-ρB =3.
【自我检测】
解:(1)ρ2=可变形为ρ2+3ρ2cos2θ=16,
又∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,
∴x2+y2+3x2=16,
∴曲线C的直角坐标方程为+=1.
(2)由已知和(1)可得M(2,0),N(0,4),设P(2cos α,4sin α),α∈0,,
则S四边形OMPN=S△OMP+S△ONP=×2×4sin α+×4×2cos α=4sin α+4cos α=4sinα+,
由α∈0,,得α+∈,,
于是4sinα+≤4,当且仅当α+=,即α=时取等号,
∴四边形OMPN面积的最大值为4.
解答2
例2 解:(1)因为ρ-4sin θ=0,所以ρ2=4ρsin θ,所以x2+y2=4y,即曲线C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.
直线l的参数方程为(t为参数),
即(t为参数).
(2)设点A,B对应的参数分别为t1,t2,
将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得1-t2+t-22=4,
整理得t2-3t+1=0,所以
所以t1>0,t2>0,
所以 MA + MB = t1 + t2 =t1+t2=3.
【自我检测】
解:(1)由ρ=8sinθ+得ρ2=4ρsin θ+4ρcos θ,所以圆C的直角坐标方程为x2+y2-4x-4y=0,圆心C的坐标为(2,2).
(2) 证明:将代入x2+y2-4x-4y=0,
整理得t2-(2sin θ+2cos θ)t-12=0,
设点A,B所对应的参数分别为t1,t2,则t1t2=-12,
∵P(1,),∴ PA · PB = t1t2 =12,为定值.
解答3
例3 解:(1)由题知曲线C1的普通方程为+y2=1.
由ρ(cos θ-sin θ)=4及x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为x-y-4=0.
(2)设M(3cos α,sin α),结合图像可知, MN 的最小值即为点M到直线C2的距离的最小值.
∵点M到直线C2的距离d==,其中tan φ=,
∴当cos(α+φ)=1时,d最小,即 MN 最小.
此时,3cos α-sin α=,结合sin2α+cos2α=1可得cos α=,sin α=-.
即此时M点的坐标为,-.
【自我检测】
解:(1)因为ρsin2θ-4cos θ=0,
所以ρ2sin2θ-4ρcos θ=0,所以y2=4x,即曲线C1的直角坐标方程为y2=4x.
因为所以(x+1)2+y2=4,即曲线C2的普通方程为(x+1)2+y2=4.
(2)将直线l的参数方程代入y2=4x,整理得t2-4t-4=0,
设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,
则t1+t2=4,t1t2=-4,
所以+=+====.
[备选理由 在解决取值范围问题时常用三角函数,备用例1是对例3应用的一个补充.
例1 [配例3使用 在平面直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-3,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位,已知曲线C的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-3=0.
(1)若直线l与曲线C有公共点,求倾斜角α的取值范围;
(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
解:(1)将曲线C的极坐标方程ρ2-2ρcos θ-3=0化为直角坐标方程为x2+y2-2x-3=0,
直线l的参数方程为(t为参数),
将直线l的参数方程代入x2+y2-2x-3=0,整理得t2-8tcos α+12=0,
∵直线l与曲线C有公共点,∴Δ=64cos2α-48≥0,
∴cos α≥或cos α≤-,又∵α∈[0,π),
∴α的取值范围是0,∪,π.
(2)曲线C的直角坐标方程x2+y2-2x-3=0可化为(x-1)2+y2=4,
其参数方程为(θ为参数).
∵M(x,y)为曲线C上任意一点,
∴x+y=1+2cos θ+2sin θ=1+2sinθ+,
∴x+y的取值范围是[1-2,1+2 .
