2019届二轮复习第22讲　不等式选讲学案（全国通用）

第22讲　不等式选讲1.[2018·全国卷Ⅱ  设函数f(x)=5- x+a - x-2 .(1)当a=1时,求不等式f(x)≥0的解集;(2)若f(x)≤1,求a的取值范围.[试做    2.[2018·全国卷Ⅰ  已知f(x)= x+1 - ax-1 .(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.[试做    3.[2017·全国卷Ⅱ  已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4;(2)a+b≤2.[试做     (1)形如 x-a + x-b ≥c(或≤c)的不等式主要有两种解法:①分段讨论法:利用绝对值内表达式对应方程的根,将数轴分为(-∞,a ,(a,b ,(b,+∞)(此处设a<b)三个部分,在每部分内去掉绝对值并分别列出对应的不等式求解,然后取各部分解集的并集;②图像法:作出函数y1= x-a + x-b 和y2=c的图像,结合图像求解.(2)不等式的恒成立问题一般有两种解法:①利用函数思想转化为函数的最值问题求解;②构造两个函数,作出函数图像,通过数形结合寻找临界状态得到参数的取值范围.(3)利用基本不等式证明不等式是用综合法证明不等式的一种情况,证明思路是从已知不等式和问题的已知条件出发,借助不等式的性质和有关定理,经过逐步的逻辑推理,最后得到需证的结论.解答1含绝对值不等式的解法1 已知函数f(x)= x-a - 3x+2 (a>0).(1)当a=1时,解不等式f(x)>x-1;(2)若关于x的不等式f(x)>4有解,求a的取值范围.[听课笔记      【考场点拨】(1)对于形如 f(x) ≥ g(x) 的不等式,可利用不等式两边平方的技巧去掉绝对值;(2)对于形如 f(x) ± g(x) ≥a, f(x) ± g(x) ≤a的不等式,通常利用“零点”分区间法去掉绝对值.【自我检测】设函数f(x)= 2x-7 +1.(1)求不等式f(x)≤x的解集;(2)若存在x使不等式f(x)-2 x-1 ≤a成立,求实数a的取值范围.  解答2不等式的证明2 已知a>0,b>0,且a2+b2=2.(1)若+≥ 2x-1 - x-1 恒成立,求x的取值范围;(2)证明:(a5+b5)≥4.[听课笔记      【考场点拨】(1)证明不等式的基本方法有综合法、分析法,也常用到基本不等式进行证明;(2)对于含有绝对值的不等式,在证明时常用到绝对值三角不等式;(3)对于含有根号的不等式,在证明时可用平方法(前提是不等式两边均为正数);(4)如果所证命题是否定性命题或唯一性命题,或以“至少”“至多”等方式给出,可以考虑反证法.【自我检测】已知关于x的不等式≤ x+2 的解集为R.(1)求实数m的值;(2)若a,b,c>0,且a+b+c=m,求证:++≤.  解答3含绝对值不等式的恒成立问题3 已知函数f(x)= x-2 +2 x-1 .(1)求不等式f(x)>4的解集;(2)若不等式f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,求实数m的取值范围.[听课笔记      【考场点拨】利用绝对值不等式恒成立求参数的值或取值范围常用以下结论:①若f(x)>g(a)恒成立,则f(x)min>g(a);②若f(x)<g(a)恒成立,则f(x)max<g(a).【自我检测】已知函数f(x)= x+1 + x-2 -m,m∈R. (1)若m=5,求不等式f(x)>0的解集;(2)若对于任意x∈R,不等式f(x)≥2恒成立,求m的取值范围.                                          第22讲　不等式选讲 典型真题研析1.解:(1)当a=1时,f(x)=可得f(x)≥0的解集为{x -2≤x≤3}.(2)f(x)≤1等价于 x+a + x-2 ≥4.而 x+a + x-2 ≥ a+2 ,且当x=2时等号成立,故f(x)≤1等价于 a+2 ≥4.由 a+2 ≥4可得a≤-6或a≥2,所以a的取值范围是(-∞,-6 ∪[2,+∞).2.解:(1)当a=1时,f(x)= x+1 - x-1 ,即f(x)=故不等式f(x)>1的解集为xx>.(2)当x∈(0,1)时 x+1 - ax-1 >x成立等价于当x∈(0,1)时 ax-1 <1成立.若a≤0,则当x∈(0,1)时 ax-1 ≥1;若a>0, ax-1 <1的解集为x0<x<,所以≥1,故0<a≤2.综上,a的取值范围为(0,2 .3.证明:(1)(a+b)(a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6=(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4)=4+ab(a2-b2)2≥4.(2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+,所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2.考点考法探究解答1例1　解:(1)当a=1时,不等式f(x)>x-1即为 x-1 - 3x+2 >x-1.当x>1时,不等式可化为-2x-3>x-1,解得x<-,与x>1矛盾,此时不等式无解;当-≤x≤1时,不等式可化为-4x-1>x-1,解得x<0,所以-≤x<0;当x<-时,不等式可化为2x+3>x-1,解得x>-4,所以-4<x<-.综上所述,不等式的解集为{x -4<x<0}.(2)f(x)=因为函数f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以当x=-时,f(x)max=+a.不等式f(x)>4有解等价于f(x)max=+a>4,解得a>,故a的取值范围为.【自我检测】解:(1)由f(x)≤x,得 2x-7 +1≤x,即 2x-7 ≤x-1.当x≤1时,显然不成立.当x>1时,两边平方得3x2-26x+48≤0,即(x-6)(3x-8)≤0,解得≤x≤6,综上得,不等式的解集为x≤x≤6.(2)因为存在x使不等式 2x-7 -2 x-1 +1≤a成立,所以 2x-7 -2 x-1 +1的最小值小于等于a.又因为 2x-7 -2 x-1 +1=所以a≥-4.解答2例2　解:(1)设f(x)= 2x-1 - x-1 ,则f(x)=由a2+b2=2,得(a2+b2)=1,所以+=(a2+b2)=≥=,当且仅当a2=,b2=时等号成立,所以≥ 2x-1 - x-1 .当x≥1时,得x≤,所以1≤x≤;当≤x<1时,得3x-2≤,解得x≤,所以≤x<1;当x<时,得-x≤,解得x≥-,所以-≤x<.综上可得-≤x≤.(2)证明:(a5+b5)=a4+b4++=(a2+b2)2++-2a2b2≥(a2+b2)2+2-2a2b2=(a2+b2)2=4,当且仅当=,即a=b=1时等号成立.【自我检测】解:(1)∵≤ x+2 ,∴≤(x+2)2,整理得3x2+(16-4m)x+16-4m2≥0.由题意得Δ=(16-4m)2-4×3×(16-4m2)≤0,整理得(m-1)2≤0,∴m=1.(2)证明:∵a+b+c=1,a+b≥2,b+c≥2,c+a≥2,当且仅当a=b=c=时等号都成立,∴++≤a+b+c=1.又∵(++)2=a+b+c+2+2+2,∴(++)2≤3,∴++≤.解答3例3　解:(1)依题意得f(x)= x-2 +2 x-1 =不等式f(x)>4等价于或或解得x<0或x∈或x>,故所求解集为(-∞,0)∪.(2)由(1)可得,当x=1时,f(x)取得最小值1.∵f(x)>2m2-7m+4对任意x∈R恒成立,∴f(x)min>2m2-7m+4,即2m2-7m+4<1,∴2m2-7m+3<0,解得<m<3,∴实数m的取值范围是.【自我检测】解:(1) x+1 + x-2 =当m=5时,f(x)>0等价于或或解得x<-2或x∈或x>3,∴不等式f(x)>0的解集为(-∞,-2)∪(3,+∞).(2)由题意知m≤ x+1 + x-2 -2在R上恒成立,又 x+1 + x-2 -2≥ (x+1)-(x-2) -2=1,∴m≤1,即m的取值范围是(-∞,1 .[备选理由  例1考查含参绝对值不等式的求解,解题时要对参数进行分类讨论,有利于学生进一步掌握去掉绝对值的原则;例2考查不等式的证明,需要采用反证法证明,难度不大,但思维含量较高;例3考查绝对值不等式恒成立问题,需要分类讨论去掉绝对值,涉及分类与整合思想,分离参数法,利用基本不等式及导数求最值等知识与思想方法, 综合性较大.例1　[配例1使用  已知函数f(x)= 2x+1 + x-a ,a∈R.(1)当a=2时,解不等式f(x)≤4;(2)若不等式f(x)<1的解集为非空集合,求a的取值范围.解:(1)当a=2时,原不等式即为 2x+1 + x-2 ≤4.①当x≤-时,原不等式为-2x-1-x+2≤4,可得-1≤x≤-;②当-<x≤2时,原不等式为2x+1-x+2≤4,可得-<x≤1;③当x>2时,原不等式为2x+1+x-2≤4,可得x∈.综上可知,原不等式的解集是[-1,1 .(2)f(x)= 2x+1 + x-a ,a∈R.①当a=-时,f(x)= 2x+1 ≥0,显然不等式f(x)<1的解集为非空集合.②当a>-时,易知当x=-时,f(x)取得最小值a+,即f(x)= 2x+1 + x-a ≥a+.欲使不等式f(x)<1的解集为非空集合,则需a+<1,∴-<a<.③当a<-时,易知当x=-时,f(x)取得最小值-a-,即f(x)= 2x+1 + x-a ≥-a-.欲使不等式f(x)<1的解集为非空集合,则需-a-<1,∴-<a<-.综上可知,当-<a<时,不等式f(x)<1的解集为非空集合.例2　[配例2使用  已知函数f(x)= x+1 + x-1 .(1)求函数f(x)的最小值a;(2)根据(1)中的结论,若m3+n3=a,且m>0,n>0,求证:m+n≤2.解:(1)f(x)= x+1 + x-1 ≥ x+1-(x-1) =2,当且仅当-1≤x≤1时取等号,所以f(x)min=2,即a=2.(2)证明:假设m+n>2,则m>2-n,则m3>(2-n)3,所以m3+n3>(2-n)3+n3=2+6(1-n)2≥2.①由(1)知a=2,所以m3+n3=2.②①②矛盾,所以假设不成立,即m+n≤2.例3　[配例3使用  已知函数f(x)= 2x + 2x+3 +m,m∈R.(1)当m=-2时,求不等式f(x)≤3的解集;(2)若对任意x∈(-∞,0),都有f(x)≥x+恒成立,求m的取值范围.解:(1)当m=-2时,f(x)= 2x + 2x+3 -2=当x≥0时,得4x+1≤3,可得0≤x≤;当-<x<0时,得1≤3,恒成立;当x≤-时,得-4x-5≤3,可得-2≤x≤-.综上可得,不等式f(x)≤3的解集为.(2)当x∈(-∞,0)时,f(x)= 2x + 2x+3 +m=当-<x<0时,不等式化为3+m≥x+.∵x+=-≤-2=-2,当且仅当-x=-,即x=-时等号成立,∴m+3≥-2,∴m≥-3-2.当x≤-时,不等式化为-4x-3+m≥x+,∴m≥5x++3.令y=5x++3,x∈,则y'=5->0,∴y=5x++3在上是增函数.∴当x=-时,y=5x++3取到最大值,最大值为-,∴m≥-.综上可得m≥-3-2.