2019届二轮复习第21讲　坐标系与参数方程学案（全国通用）

第21讲　坐标系与参数方程

1.[2018·全国卷Ⅰ  在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=  x +2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0.

(1)求C2的直角坐标方程;

(2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程.

[试做  

2.[2017·全国卷Ⅰ  在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;

(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.

[试做  

命题角度　坐标系与参数方程

(1)根据x=ρcos θ,y=ρsin θ以及ρ2=x2+y2可将极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入等方法实现;

(3)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,一般方法是先分别化为直角坐标方程或普通方程再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解,解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型.

解答1极坐标与简单曲线的极坐标方程

1 在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x+y=5,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ=4sin θ.

(1)求直线l的极坐标方程和圆C的直角坐标方程;

(2)射线OP:θ=与圆C的交点为O,A,与直线l的交点为B,求线段AB的长.

 [听课笔记    

【考场点拨】

进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcos θ,y=ρsin θ,ρ2=x2+y2.方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.

【自我检测】

在直角坐标系xOy中,圆C1:(x-2)2+(y-4)2=20,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2:θ=(ρ∈R).

(1)求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程;

(2)若曲线C3的极坐标方程为θ=(ρ∈R),设C2与C1的交点为O,M,C3与C1的交点为O,N,求△OMN的面积.

解答2简单曲线的参数方程

2 已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(α为参数),且直线l交曲线C于A,B两点.

(1)将曲线C的参数方程化为普通方程,并求当θ=时, AB 的值;

(2)已知点P(1,0),当直线l的倾斜角θ变化时,求 PA · PB 的取值范围.

[听课笔记    

【考场点拨】

(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来,所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时,用参数方程求解非常方便;(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义,在解题时能够事半功倍.

【自我检测】

已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数).

(1)写出曲线C的参数方程和直线l的普通方程;

(2)设曲线C上任意一点P到直线l的距离为d,求d的最大值与最小值.

解答3极坐标方程与参数方程的综合应用

3 在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=2acos.

(1)分别写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;

(2)已知点P(2,-1),直线l与曲线C相交于M,N两点,若 MN 2=6 PM · PN ,求a的值.

[听课笔记    

【考场点拨】

参数方程主要通过代入法或者利用已知恒等式(如cos2α+sin2α=1等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程.利用关系式等可以将极坐标方程与直角坐标方程互化.

【自我检测】

在平面直角坐标系xOy中,直线l的方程为x-y-2=0,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为2cos θ=ρ(1-cos2θ).

(1)写出直线l的一个参数方程与曲线C的直角坐标方程;

(2)已知直线l与曲线C交于A,B两点,试求AB的中点N的坐标.

模块七　选考模块

第21讲　坐标系与参数方程

典型真题研析

1.解:(1)由x=ρcos θ,y=ρsin θ得C2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4.

(2)由(1)知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆.

由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.

由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点.

当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2,所以=2,故 =-或 =0.

经检验,当 =0时,l1与C2没有公共点;

当 =-时,l1与C2只有一个公共点,l2与C2有两个公共点.

当l2与C2只有一个公共点时,A到l2所在直线的距离为2,所以=2,故 =0或 =.

经检验,当 =0时,l1与C2没有公共点;

当 =时,l2与C2没有公共点.

综上,所求C1的方程为y=- x +2.

2.解:(1)曲线C的普通方程为+y2=1.

当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.

由解得或

从而C与l的交点坐标为(3,0),.

(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos θ,sin θ)到l的距离

d=.

当a≥-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=8;

当a<-4时,d的最大值为,由题设得=,所以a=-16.

综上,a=8或a=-16.

考点考法探究

解答1

例1　解:(1)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x+y=5中,

得ρcos θ+ρsin θ=5,整理得2ρsin=5,

即直线l的极坐标方程为2ρsin=5.

由ρ=4sin θ得ρ2=4ρsin θ,将ρ2=x2+y2,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2=4y,

可得x2+(y-2)2=4,即圆C的直角坐标方程为x2+(y-2)2=4.

(2)将θ=分别代入ρ=4sin θ,2ρsin=5,得 OA =4sin=2, OB ==5,

所以 AB = OB - OA =3.

【自我检测】

解:(1)圆C1的直角坐标方程为x2+y2-4x-8y=0,

把x=ρcos θ,y=ρsin θ代入上式,得ρ2-4ρcos θ-8ρsin θ=0,

所以C1的极坐标方程为ρ=4cos θ+8sin θ.

易得C2的直角坐标方程为y=x.

(2)分别将θ=,θ=代入ρ=4cos θ+8sin θ中,得 OM =2+4, ON =4+2,

则△OMN的面积为×(2+4)×(4+2)×sin=8+5.

解答2

例2　解:(1)由曲线C的参数方程为(α为参数),得曲线C的普通方程为+y2=1.

当θ=时,直线l的普通方程为y=x-1,

代入+y2=1,可得2x2-3x=0,∴x1=0,x2=,

∴ AB =×=.

(2)将直线l的参数方程代入+y2=1,

得(cos2θ+3sin2θ)t2+2cos θ·t-2=0.

设A,B对应的参数分别为t1,t2,

则t1t2=,∴ PA · PB =-t1·t2==∈.

【自我检测】

解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为2x+y-11=0.

(2)可设点P,则点P到直线l的距离d= 3cos θ+4sin θ-11 = 5sin(θ+α)-11 ,其中α为锐角,且tan α=.

则当sin(θ+α)=-1时,d取得最大值,最大值为;当sin(θ+α)=1时,d取得最小值,最小值为.

解答3

例3　解:(1)将(t为参数)消去参数t,可得x-y-3=0,

∴直线l的普通方程为y=x-3.

由ρ=2acos,得ρ2=2ρa(cos θ-sin θ).

将ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y代入上式,得x2+y2-2ax+2ay=0,

即(x-a)2+(y+a)2=2a2,

∴曲线C的直角坐标方程为(x-a)2+(y+a)2=2a2.

(2)将代入x2+y2-2ax+2ay=0中,

整理得t2+t+5-6a=0.

设M,N两点对应的参数分别为t1,t2,

则t1+t2=-,t1t2=5-6a.

∵ MN 2=6 PM · PN ,

∴(t1-t2)2=6 t1t2 ,

又a>,

∴t1t2<0,

∴(t1-t2)2=-6t1t2,

∴(t1+t2)2+2t1t2=0,即(-)2+2(5-6a)=0,

解得a=1,符合题意,

∴a=1.

【自我检测】

解:(1)直线l的方程为x-y-2=0,

即(x-2)=y.

令x=t+2,y=t,

则直线l的一个参数方程为(t为参数).

由曲线C的极坐标方程可得ρ2(1-cos2θ)=2ρcos θ,

即ρ2sin2θ=2ρcos θ,可得曲线C的直角坐标方程为y2=2x.

(2)将代入y2=2x,得3t2-2t-4=0.

设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=.

设点A(x1,y1),B(x2,y2),N(x0,y0),

则x0==2+=,y0===,

故AB的中点N的坐标为.

[备选理由  例1第(2)问考查两弦长之和,其实质是极径之和,可以写成极角的表达式,利用三角函数求解最值,有利于强化学生的综合分析能力与化归转化思想;例2考查参数方程与极坐标方程的综合应用.

例1　[配例1使用  在直角坐标系xOy中,圆C的圆心为,半径为,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)设M,N是圆C上两个动点,且满足∠MON=,求 OM + ON 的最大值.

解:(1)圆C的直角坐标方程为x2+=,即x2+y2-y=0,

化成极坐标方程为ρ2-ρsin θ=0,整理得ρ=sin θ.

(2)设M(ρ1,θ),N,

则 OM + ON =ρ1+ρ2=sin θ+sin

=sin θ+cos θ=sin.

由得0<θ<,所以<θ+<,

故<sin≤1,即 OM + ON 的最大值为1.

例2　[配例3使用  在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(其中φ为参数),曲线C2:+=1.以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C1,C2的极坐标方程;

(2)射线l:θ=α(ρ≥0)与曲线C1,C2分别交于点A,B(A,B均异于原点O),当0<α<时,求 OB 2- OA 2的最小值.

解:(1)由题意得,曲线C1的普通方程为(x-1)2+y2=1,则C1的极坐标方程为ρ=2cos θ.

曲线C2的极坐标方程为ρ2=.

(2)联立θ=α(ρ≥0)与C1的极坐标方程,得 OA 2=4cos2α,

联立θ=α(ρ≥0)与C2的极坐标方程,得 OB 2=,

则 OB 2- OA 2=-4cos2α=-4(1-sin2α)=+4(1+sin2α)-8≥

2-8=8-8(当且仅当sin α=时取等号),

所以 OB 2- OA 2的最小值为8-8.