2019届二轮复习第26讲考前必背学案（全国通用）

第26讲　考前必背
“知识在于积累，积累为了应用”．为了提高高三复习效率，我们归纳概括了一些实用的经验公式、已证明了的小结论、常用的数据，它们或是老师的点评，或是同学们平时学习的感悟，或源于课本例题习题之中，在考前如果能理解熟记之，则能简化解题步骤、优化解题过程、提升解题速度(尤其体现在解答填空题、选择题时)．
第一部分　集合与常用逻辑用语
1．设全集为U，则A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA∪B＝U.
2．设全集为U，则∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)，∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
3．集合{a1，a2，…，an}的子集个数共有2n 个；真子集有2n－1个；非空子集有2n－1个；非空真子集有2n－2个．
4．空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．注意：条件为A⊆B，在讨论的时候不要忘了A＝∅的情况．
5．补集思想常用于否定性或正面较复杂问题，注意否定的全集范围．
6．充要条件的判定：
(1)先分清哪是条件，哪是结论，将条件放在左边，结论放在右边；
(2)从条件推到结论，说明条件是充分的；从结论推到条件，说明条件是必要的．
(3)与不等式解集有关的问题常转化为集合的包含关系：若A⊆B，则A是B的充分条件，B是A的必要条件．注意区分：“甲是乙的充分条件(甲⇒乙)”与“甲的充分条件是乙(乙⇒甲)”．
7．“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；“p且q”形式复合命题，当p与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题，当p与q同为假时为假，其他情况时为真．
8．原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价．
注意命题p⇒q的否定与它的否命题的区别：命题p⇒q的否定是p⇒綈q；否命题是綈p⇒綈q；命题“p或q”的否定是“綈p且綈q”；“p且q”的否定是“綈p或綈q”．
9．全称量词—“所有的”、“任意一个”等，用∀表示；全称命题p：∀x∈M，p(x)；全称命题p的否定綈p：∃x∈M，綈p(x)．
10．存在量词—“存在一个”、“至少有一个”等，用∃表示；特称命题p：∃x∈M，p(x)；特称命题p的否定綈p：∀x∈M，綈p(x)．
11．常见结论的否定形式

原结论
反设词
原结论
反设词
是
不是
至少有一个
一个也没有
都是
不都是
至多有一个
至少有两个
大于
不大于
至少有N个
至多有(N－1)个
小于
不小于
至多有N个
至少有(N＋1)个
对所有x，
成立
存在某x，
不成立
p或q
綈p且綈q
对任何x，
不成立
存在某x，
成立
p且q
綈p或綈q

第二部分　函数与导数
1．函数图象与x轴垂线至多一个公共点，但与y轴垂线的公共点可能没有，也可有任意个．
2．函数图象一定是坐标系中的曲线，但坐标系中的曲线不一定能成为函数图象．
3．同底数的指数函数与对数函数互为反函数．①互为反函数的图象关于直线y＝x对称；②如果点(a，b)是原函数图象上的点，那么点(b，a)就是其反函数图象上的点．
4．关于复合函数
(1)定义域求法：① 若f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出；② 若f[g(x)]的定义域为[a，b]，求 f(x)的定义域，相当于x∈[a，b]时，求g(x)的值域．
(2)单调性的判定：①首先将原函数y＝f[g(x)]分解为基本函数：内函数u＝g(x)与外函数y＝f(u)；②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性．
5．函数的奇偶性
(1)函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；
(2)f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1；
(3)f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1 ；
(4)奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)＝0；
(5)在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；
(6)若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；
(7)多项式函数P(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a0的奇偶性：多项式函数P(x)是奇函数⇔P(x)的偶次项(即奇数项)的系数全为零．多项式函数P(x)是偶函数⇔P(x)的奇次项(即偶数项)的系数全为零．
6．函数的单调性
(1)单调性的定义：f(x)在区间M上是增(减)函数⇔∀x1，x2∈M，当x10(0(0且a≠1，N>0)，logbN＝，logab＝，logaMn＝nlogaM，logamMn＝logaM.
(3)二次函数
①三种形式：一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；顶点式：y＝a(x－b)2＋k(a≠0)，其中(b，k)为抛物线顶点坐标；零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2为抛物线与x轴两个交点的横坐标(有些证明题经常用到零点式)．
②二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴方程与顶点坐标；端点值；图象与坐标轴交点；判别式；两根符号(韦达定理)．
③二次函数问题解决方法：数形结合；分类讨论．
(4)函数y＝bx＋(a>0，b>0，x>0)在区间上单调递减，在区间上单调递增(记住f(x)＝bx＋(a>0，b>0，x>0)的图象)．
(5)形如y＝(c≠0，ad≠bc)的图象是等轴双曲线(化简时可分离常量)，双曲线两渐近线分别为直线x＝－(由分母为零确定)、直线y＝(由分子、分母中x的系数确定)，双曲线的中心是点.
11．函数图象
函数图象的几种常见变换
(1)平移变换：左右平移——“左加右减”(注意是针对x而言)；上下平移—“上加下减”(注意是针对f(x)而言)．
(2)翻折变换：f(x)→|f(x)|；f(x)→f(|x|)．
(3)对称变换：
①证明函数图象的对称性，即证图象上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图象上；
②证明图象C1与C2的对称性，即证C1上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在C2上，反之亦然；
③函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于直线x＝0(y轴)对称；函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0(x轴)对称；
④函数y＝f(a＋x)，y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称(由a＋x＝b－x确定)；
⑤函数y＝f(x－a)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称；
⑥函数y＝f(x)，y＝A－f(x)的图象关于直线y＝对称(由y＝确定)；
⑦函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点成中心对称；函数y＝f(x)，y＝n－f(m－x) 的图象关于点对称；
⑧曲线C1：f(x，y)＝0，关于y＝x＋a，y＝－x＋a的对称曲线C2的方程为f(y－a，x＋a)＝0(或f(－y＋a，－x＋a)＝0; 曲线C1：f(x，y)＝0关于点(a，b)的对称曲线C2方程为：f(2a－x，2b－y)＝0；
⑨ⅰ.f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)⇒f(x)＝kx(k≠0)；ⅱ.f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；f(x1－x2)＝f(x1)÷f(x2)⇒f(x)＝ax；ⅲ.f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；f＝f(x1)－f(x2)⇒f(x)＝logax.
12．函数的零点
(1)零点的求法：直接法(求f(x)＝0的根)；图象法；二分法．
(2)零点定理：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)0)外部，则＋>1.
(5)椭圆＋＝1(a>b>0)的参数方程是
(6)以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离．
(7)以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切．
(8)设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则△PF1F2在边PF2(或PF1)上的旁切圆，必与A1A2所在的直线切于A2(或A1)．
(9)椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个顶点为A1(－a，0)，A2(a，0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是－＝1.
(10)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1上，则过P0的椭圆的切线方程是＋＝1.
(11)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1外 ，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是＋＝1.
(12)AB是椭圆＋＝1的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝－.
(13)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1内，则被P0所平分的中点弦的方程是＋＝＋.
(14)若P0(x0，y0)在椭圆＋＝1内，则过P0的弦中点的轨迹方程是＋＝＋.
(15)若PQ是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上对中心张直角的弦，则＋＝＋(r1＝|OP|，r2＝|OQ|)．
3．双曲线中的结论：
(1)双曲线标准方程(焦点在x轴或y轴上)的统一形式为Ax2－By2＝1(AB>0)，
双曲线－＝1(a，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记作－＝0.
双曲线－＝1(a，b>0)的参数方程是
(2)共渐近线y＝±x的双曲线标准方程为－＝λ(λ为参数，λ≠0)．
(3)双曲线焦点三角形：①S△PF1F2＝(θ＝∠F1PF2)；
②P是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左(右)支上一点，F1、F2分别为左、右焦点，则△PF1F2的内切圆的圆心横坐标为－a(a).
(4)双曲线－＝1(a，b>0)的通径长为.
(5)PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点．
(6)以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交．
(7)以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切．
(8)设P为双曲线上一点，则△PF1F2的内切圆必切于与P在同侧的顶点．
(9)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点为A1(－a，0)，A2(a，0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是＋＝1.
(10)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)上，则过P0的双曲线的切线方程是－＝1.
(11)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)外，则过P0作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是－＝1.
(12)AB是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM·kAB＝.
(13)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)内，则被P0所平分的中点弦的方程是－＝－.
(14)若P0(x0，y0)在双曲线－＝1(a＞0，b＞0)内，则过P0的弦中点的轨迹方程是－＝－.
(15)若PQ是双曲线－＝1(b＞a＞0)上对中心张直角的弦，则＋＝－(r1＝|OP|，r2＝|OQ|)．
4．抛物线中的结论：
(1)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB性质：①x1x2＝；y1y2＝－p2；抛物线焦半径：＝x0＋；②＋＝ ；③以AB为直径的圆与抛物线准线相切；④以AF(或BF)为直径的圆与y 轴相切；⑤|AB|＝，直线AB倾斜角α＝90°时，最短弦长为2p，即为抛物线的通径．
(2)若点P(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p>0)内部，则y0)外部，则y>2px0.
(3)抛物线y2＝2px上的动点P可设为P或P(2pt2，2pt)．
(4)由抛物线焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．
(5)过抛物线y2＝2px(p>0)的顶点作两条互相垂直的弦OA、OB，则弦AB过定点(2p，0)．
(6)若抛物线上两点A、B在准线l上的射影分别为A1、B1，F为其焦点，则∠A1FB1＝.
5．若直线y＝kx＋m与二次曲线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则由⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，知直线与二次曲线相交所截得的弦长为：
＝＝，其中＝(涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意Δ≥0，还需要注意圆锥曲线本身的范围．若求弦所在直线的斜率常用“点差法”)．
6．圆锥曲线的两类对称问题：
(1)曲线F(x，y)＝0关于点P(x0，y0)成中心对称的曲线是F(2x0－x，2y0－y)＝0.
(2)曲线F(x，y)＝0关于直线Ax＋By＋C＝0成轴对称的曲线是
F(x－，y－)＝0.
第九部分　不等式
1．含有绝对值的不等式：①|x|0.
(2)g(x)⇔或.
(3)1时，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)；
logaf(x)>logag(x)⇔.
(2)当0