2019届二轮复习第32练　不等式选讲[选做大题保分练]学案（全国通用）

第32练　不等式选讲[选做大题保分练]
[明晰考情]　1.命题角度：绝对值不等式的解法、求含绝对值的函数的最值及求含参数的绝对值不等式中的参数的取值范围，不等式的应用和证明是命题的热点.2.题目难度：中档难度.

考点一　绝对值不等式的解法
方法技巧　|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法
(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.
(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.
(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
1.(2018·益阳调研)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.
(1)当a＝0时，解不等式f(x)≤3；
(2)若关于x的不等式f(x)≥|x－3|在R上恒成立，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝0时，f(x)＝|x|＋|x－2|.
当x≤0时，由f(x)＝－x＋2－x≤3，得－≤x≤0；
当0 当x≥2时，由f(x)＝x＋x－2≤3，得2≤x≤.
综上所述，不等式f(x)≤3的解集为.
(2)由f(x)≥|x－3|，得|x＋a|≥|x－3|－|x－2|.
令g(x)＝|x－3|－|x－2|＝
作出g(x)的图象如图所示，

由题意知g(x)的图象恒在函数y＝|x＋a|的图象的下方.
由图象可知，当y＝|x＋a|经过点(2，1)时，
解得a＝－3或a＝－1.
当a＝－1时，y＝|x＋a|的图象经过(1，0)点，显然不成立；
当a＝－3时，y＝|x＋a|的图象经过(3，0)点，成立，
由图可知a≤－3，
即实数a的取值范围为(－∞，－3].
2.(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集；
(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.
解　(1)f(x)＝
当x＜－1时，f(x)≥1无解；
当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2－x＋m，得
m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.
而|x＋1|－|x－2|－x2＋x
≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|
＝－2＋≤，
当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.
故m的取值范围为.
3.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.
(1)解不等式|g(x)|＜5；
(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.
解　(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，
所以－7＜|x－1|＜3，又|x－1|≥0，可得不等式的解集为(－2，4).
(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，
所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}.
又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，
所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，
所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).
考点二　不等式的证明
要点重组　(1)绝对值三角不等式
||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
(2)算术—几何平均不等式
如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.
方法技巧　证明不等式的基本方法有比较法、综合法、分析法和反证法，其中比较法和综合法是基础，综合法证明的关键是找到证明的切入点.
4.(2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：
(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；
(2)a＋b≤2.
证明　(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6
＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)
＝4＋ab(a2－b2)2≥4.
(2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
＝2＋3ab(a＋b)≤2＋(a＋b)
＝2＋(当且仅当a＝b时，等号成立)，
所以(a＋b)3≤8，所以a＋b≤2.
5.(2018·咸阳模拟)已知函数f(x)＝|x|－|x－3|(x∈R).
(1)求f(x)的最大值m；
(2)设a，b，c为正实数，且2a＋3b＋4c＝m，求证：＋＋≥3.
(1)解　方法一　由f(x)＝
知f(x)∈[－3，3]，即m＝3.
方法二　由绝对值不等式f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，得m＝3.
方法三　由绝对值不等式的几何意义知f(x)＝|x|－|x－3|∈[－3，3](x∈R)，即m＝3.
(2)证明　∵2a＋3b＋4c＝3(a，b，c>0)，
∴＋＋＝
＝≥3.
当且仅当2a＝3b＝4c，即a＝，b＝，c＝时取等号，
即＋＋≥3.
6.已知函数f(x)＝＋，M为不等式f(x)<2的解集.
(1)求M；
(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
(1)解　f(x)＝
当x≤－时，由f(x)<2，得－2x<2，
解得x>－1，所以－1 当－ 当x≥时，由f(x)<2，得2x<2，解得x<1，
所以≤x<1.
综上知，f(x)<2的解集M＝{x|－1 (2)证明　由(1)知，当a，b∈M时，－1 从而(a＋b)2－(1＋ab)2＝a2＋b2－a2b2－1＝(a2－1)(1－b2)<0，即(a＋b)2<(1＋ab)2，
因此|a＋b|<|1＋ab|.
考点三　不等式的应用
方法技巧　利用不等式的性质和结论可以求函数的最值，解决一些参数范围问题，恒成立问题，解题中要注意问题的转化.
7.(2018·海南模拟)设函数f(x)＝|x＋a|＋2a.
(1)若不等式f(x)≤1的解集为{x|－2≤x≤4}，求a的值；
(2)在(1)的条件下，若不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，求k的取值范围.
解　(1)因为|x＋a|＋2a≤1，所以|x＋a|≤1－2a(1－2a>0)，
所以2a－1≤x＋a≤1－2a，所以a－1≤x≤1－3a.
因为不等式f(x)≤1的解集为{x|－2≤x≤4}，
所以解得a＝－1，满足1－2a>0，故a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝|x－1|－2，不等式f(x)≥k2－k－4恒成立，
只需f(x)min≥k2－k－4，
所以－2≥k2－k－4，即k2－k－2≤0，
所以k的取值范围是[－1，2].
8.已知函数f(x)＝|x－2|－|x＋1|.
(1)解不等式f(x)＞1；
(2)当x＞0时，函数g(x)＝(a＞0)的最小值大于函数f(x)，试求实数a的取值范围.
解　(1)当x＞2时，原不等式可化为x－2－x－1＞1，此时不成立；
当－1≤x≤2时，原不等式可化为2－x－x－1＞1，解得－1≤x＜0；
当x＜－1时，原不等式可化为2－x＋x＋1＞1，解得x＜－1.
综上，原不等式的解集是{x|x＜0}.
(2)因为g(x)＝ax＋－1≥2－1，当且仅当x＝时等号成立，
所以g(x)min＝g＝2－1.
当x＞0时，f(x)＝
所以f(x)∈[－3，1).
所以2－1≥1，解得a≥1.
所以实数a的取值范围为[1，＋∞).
9.已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－a|，g(x)＝3x－2.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)＞g(x)的解集；
(2)设a＜－，存在x∈使f(x)≥g(x)成立，求实数a的取值范围.
解　(1)当a＝2时，不等式f(x)＞g(x)可化为|2x＋1|－|x－2|－3x＋2＞0，
设y＝|2x＋1|－|x－2|－3x＋2，
则y＝由y＞0，解得x＜，
所以原不等式的解集为.
(2)当x∈时，f(x)＝－2x－1－x＋a＝－3x－1＋a，不等式f(x)≥g(x)可化为a≥6x－1.
设h(x)＝6x－1，
则h(x)min＝h(a)＝6a－1，
由题意知a≥h(x)min＝6a－1，
解得a≤.
又a＜－，
所以a的取值范围是.


典例　(10分)已知函数f(x)＝|3x＋2|.
(1)解不等式f(x)＜4－|x－1|；
(2)已知m＋n＝1(m，n＞0)，若|x－a|－f(x)≤＋(a＞0)对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
审题路线图
(1)―→
(2)⇒
―→
规范解答·评分标准
解　(1)不等式f(x)＜4－|x－1|，
即|3x＋2|＋|x－1|＜4，
当x＜－时，不等式可化为－3x－2－x＋1＜4，
解得－＜x＜－；……………………………………………………………………………1分
当－≤x≤1时，不等式可化为3x＋2－x＋1＜4，
解得－≤x＜；………………………………………………………………………………2分
当x＞1时，不等式可化为3x＋2＋x－1＜4，无解. ………………………………………3分
综上所述，不等式的解集为.……………………………………………………4分
(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，
当且仅当m＝n＝时，等号成立. ………………………………………………………5分
令g(x)＝|x－a|－f(x)＝|x－a|－|3x＋2|＝
∴当x＝－时，g(x)max＝＋a. ………………………………………………………8分
要使不等式|x－a|－f(x)≤＋对任意的x∈R恒成立，只需g(x)max＝＋a≤4，
即0＜a≤.……………………………………………………………………………10分
构建答题模板
[第一步]　解不等式；
[第二步]　转化：将恒成立问题或有解问题转化成最值问题；
[第三步]　求解：利用求得的最值求解取值范围.

1.(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)＞x成立，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，
即f(x)＝
故不等式f(x)＞1的解集为.
(2)当x∈(0，1)时，|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0，1)时，|ax－1|＜1成立.
若a≤0，则当x∈(0，1)时，|ax－1|≥1；
若a＞0，则|ax－1|＜1的解集为，
所以≥1，故0＜a≤2.
综上，a的取值范围为(0，2].
2.已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
解　(1)当a＝1时，
f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－10，
解得 当x≥1时，不等式化为－x＋2>0，解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)＝
如图所示，函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1，0)，C(a，a＋1)，

△ABC的面积为S＝××(a＋1)＝(a＋1)2.
由题设得(a＋1)2>6，故a>2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
3.设实数a，b均满足不等式组
(1)证明：＜；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由.
(1)证明　解不等式|x－1|＋2＞|x＋2|，
得或或
解得x＜.
解不等式|x－1|＜|x＋2|，得(x－1)2＜(x＋2)2，
解得x＞－.
所以原不等式组的解集为.
则a，b∈，|a|＜，|b|＜，
所以≤|a|＋|b|
＜×＋×＝，
即＜.
(2)解　|1－4ab|＞2|a－b|，理由如下：
由(1)得a2＜，b2＜，则4a2－1＜0，4b2－1＜0.
因为|1－4ab|2－(2|a－b|)2
＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)
＝1＋16a2b2－4a2－4b2
＝(4a2－1)(4b2－1)＞0，
所以|1－4ab|2＞(2|a－b|)2，即|1－4ab|＞2|a－b|.
4.已知不等式|x－m|<|x|的解集为(1，＋∞).
(1)求实数m的值；
(2)若不等式<－<对x∈(0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.
解　(1)由|x－m|<|x|，得|x－m|2<|x|2，
即2mx>m2，
又不等式|x－m|<|x|的解集为(1，＋∞)，
则1是方程2mx＝m2的解，即2m＝m2，
解得m＝2(m＝0舍去).
(2)∵m＝2，∴不等式<－<对x∈(0，＋∞)恒成立等价于不等式a－5<|x＋1|－|x－2| 设f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
当0 当x≥2时，f(x)＝3.
因此函数f(x)的值域为(－1，3].
从而原不等式等价于解得1 所以实数a的取值范围是(1，4].