2019届二轮复习第二类　数列问题重在“归”——化归、归纳学案（全国通用）

第二类　数列问题重在“归”——化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列，是一切数列问题的出发点与归宿.对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目的特点，将数列问题化归为函数问题来解决.【例2】 (2017·全国Ⅲ卷)设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和.解　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1).(归纳)两式相减得(2n－1)an＝2，所以an＝，又n＝1时，a1＝2适合上式，从而{an}的通项公式为an＝(n∈N*).(2)记的前n项和为Sn，由(1)知＝＝－，(化归)则Sn＝＋＋…＋＝1－＝.探究提高　1.(1)归纳：通过条件归纳出a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)(n≥2)，进而得出{an}的通项公式.(2)化归：把数列的通项分拆，利用裂项相消法求和.2.破解策略：“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列.【训练2】 (2018·南昌调研)设数列{an}的前n项和为Sn，已知首项a1＝λ，Sn＋1＝λSn＋λ(n∈N*)，其中常数λ>1.(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＝logλ(a1a2…an)(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.(1)证明　当n＝1时，S2＝λS1＋λ，即a2＝λ2，＝λ，当n≥2时，Sn＝λSn－1＋λ，an＋1＝Sn＋1－Sn＝λ(Sn－Sn－1)＝λan，所以＝λ.故数列{an}是首项为λ，公比为λ的等比数列.(2)解　根据(1)得an＝λn，所以a1·a2…an＝λ1＋2＋…＋n＝λ，从而bn＝logλλ＝，则{bn}是首项为1的等差数列.故Tn＝＝.