2019届二轮复习第十一章第3节　二项式定理学案（全国通用）

第3节　二项式定理
最新考纲　1.能用计数原理证明二项式定理；2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.

知 识 梳 理
1.二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N )；
(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.
2.二项式系数的性质
性质
性质描述
对称性
与首末等距离的两个二项式系数相等，即C＝C
增减性
二项式系数C
当k＜(n∈N )时，是递增的
当k＞(n∈N )时，是递减的
二项式
系数最
大值
当n为偶数时，中间的一项取得最大值
当n为奇数时，中间的两项与取最大值
3.各二项式系数和
(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[常用结论与微点提醒]
1.二项展开式共有n＋1项；各项的次数都等于二项式的幂指数n，等于a与b的指数的和n.
2.通项Tk＋1＝Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k＋1项，而不是第k项，这里k＝0，1，…，n.
3.区别(a＋b)n的展开式中“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细.项的系数与a，b有关，可正可负，第k＋1项的二项式系数是C，只与n和k有关，恒为正.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)Can－kbk是二项展开式的第k项.(　　)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)
(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)
(4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同.(　　)
解析　二项式展开式中Can－kbk是第k＋1项，二项式系数最大的项为中间一项或中间两项，故(1)(2)均不正确.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(　　)
A.C B.C
C.C D.(－1)m－1C
解析　(x－y)n展开式中第m项的系数为C(－1)m－1.
答案　D
3.(选修2－3P35练习A1(3)改编)
的值为(　　)
A.2 B.4
C.2 017 D.2 016×2 017
解析　原式＝＝22＝4.
答案　B
4.已知的展开式的第4项等于5，则x等于(　　)
A. B.－ C.7 D.－7
解析　由T4＝Cx4＝5，得x＝－.
答案　B
5.(2018·石家庄调研)(1＋x)n的二项展开式中，仅第6项的系数最大，则n＝ .
解析　(1＋x)n的二项展开式中，项的系数就是项的二项式系数，所以＋1＝6，n＝10.
答案　10

考点一　展开式中的特定项或项的系数(多维探究)
命题角度1　求二项展开式中的特定项
【例1－1】 (1)(2016·广东卷)的展开式中，常数项是(　　)
A.－ B. C.－ D.
(2)的展开式中所有的有理项为 .
解析　(1)Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，∴常数项为C＝.
(2)二项展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx.
由题意∈ ，且0≤k≤10，k∈N.
令＝r(r∈ )，则10－2k＝3r，k＝5－r，
∵k∈N，∴r应为偶数.
∴r可取2，0，－2，即k可取2，5，8，
∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为x2，
－，x－2.
答案　(1)D　(2)x2，－，x－2

命题角度2　求二项展开式中特定项的系数
【例1－2】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)(1＋x)6的展开式中x2的系数为(　　)
A.15 B.20 C.30 D.35
(2)(2018·江西赣州十四县联考)若的展开式中前三项的系数分别为A，B，C，且满足4A＝9(C－B)，则展开式中x2的系数为 .
解析　(1)因为(1＋x)6的通项为Cxr，所以(1＋x)6展开式中含x2的项为1·Cx2和·Cx4，因为C＋C＝2C＝2×＝30，
所以(1＋x)6展开式中x2的系数为30.
(2)易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍).在中，因为通项Tr＋1＝Cx8－r＝·
x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展开式中x2的系数为.
答案　(1)C　(2)
命题角度3　多项式的展开问题
【例1－3】 (一题多解)(2015·全国Ⅰ卷)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)
A.10 B.20 C.30 D.60
解析　法一　(x2＋x＋y)5＝[(x2＋x)＋y]5，
含y2的项为T3＝C(x2＋x)3·y2.
其中(x2＋x)3中含x5的项为Cx4·x＝Cx5.
所以x5y2的系数为CC＝30.
法二　(x2＋x＋y)5表示5个x2＋x＋y之积.
∴x5y2可从其中5个因式中选两个因式取y，两个取x2，一个取x.因此x5y2的系数为CCC＝30.
答案　C
规律方法　(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求的项.
(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解.
【训练1】 (1)(2018·长沙四县联考)已知的展开式中含x的项的系数为30，则实数a＝ .
(2)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 .
解析　(1)的展开式的通项为Tr＋1＝C()5－r·＝
(－a)rC·x.依题意，令5－2r＝3，得r＝1，
∴(－a)1·C＝30，解得a＝－6.
(2)由二项式定理可得，展开式中含x3y3的项为x·C(2x)2(－y)3＋y·C(2x)3(－y)2＝40x3y3，则x3y3的系数为40.
答案　(1)－6　(2)40
考点二　二项式系数的和与各项的系数和
【例2】 在(2x－3y)10的展开式中，求：
(1)二项式系数的和；
(2)各项系数的和；
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；
(4)奇数项系数和与偶数项系数和.
解　设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，( )
各项系数和为a0＋a1＋…＋a10，奇数项系数和为a0＋a2＋…＋a10，偶数项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.
由于( )是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和.
(1)二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1.
(3)奇数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29，
偶数项的二项式系数和为C＋C＋…＋C＝29.
(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①
令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，
得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②
①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，
∴奇数项系数和为；
①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，
∴偶数项系数和为.
规律方法　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可.
(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
【训练2】 (1)(2018·岳阳模拟)若二项式的展开式中各项系数的和是512，则展开式中的常数项为(　　)
A.－27C B.27C
C.－9C D.9C
(2)(1－3x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝(　　)
A.1 024 B.243 C.32 D.24
解析　(1)令x＝1得2n＝512，所以n＝9，故的展开式的通项为Tr＋1＝C(3x2)9－r＝(－1)rC·39－rx18－3r，令18－3r＝0得r＝6，所以常数项为T7＝(－1)6C·33＝27C.
(2)令x＝－1得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝[1－
(－3)]5＝45＝1 024.
答案　(1)B　(2)A
考点三　二项式定理的应用
【例3】 (1)设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2 017＝(　　)
A.i B.－i C.－1＋i D.－1－i
(2)(2018·临沂模拟)487被7除的余数为a(0≤a